2020届二轮复习选择题、填空题综合练(一)作业
题型专项集训
题型练1 选择题、填空题综合练(一)
题型练第50页
一、能力突破训练
1.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )
A.(-∞,1) B.(-2,1)
C.(-3,-1) D.(3,+∞)
答案:A
解析:由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.
2.若a>b>1,0
2,所以A错;
因为32=18>23=12,所以B错;
因为3log212=-3<2log312=-2log32,所以C正确;
因为log312=-log32>-1=log212,所以D错.
故选C.
3.(2019北京,理4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b
答案:B
解析:椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.
4.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:当a>0,b>0时,a+b≥2ab,若a+b≤4,则2ab≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案:A
解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.
6.函数f(x)=xcos x2在区间[0,2]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案:A
解析:令f(x)=0,即xcosx2=0,得x=0或cosx2=0,
则x=0或x2=kπ+π2,k∈Z.
∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=xcosx2在该区间上的零点的个数为2,故选A.
7.如图,半圆的直径AB的长为6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值为( )
A.92 B.9 C.-92 D.-9
答案:C
解析:∵PA+PB=2PO,∴(PA+PB)·PC=2PO·PC=-2|PO|·|PC|.又|PO|+|PC|=|OC|=3≥2|PO|·|PC|⇒|PO|·|PC|≤94,∴(PA+PB)·PC≥-92.故答案为-92.
8.函数f(x)=(1-cos x)sin x在区间[-π,π]上的图象大致为( )
答案:C
解析:由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;
又f'(x)=-2cos2x+cosx+1,令f'(0)=0,得cosx=1或cosx=-12,结合x∈[-π,π],求得f(x)在区间(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D.
9.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z= .
答案:1-2i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i.
10.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e= .
答案:13
解析:因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=ca=13.
11.(2019天津十二重点中学毕业班联考(二))在3x-1xn的二项式展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则展开式中常数项等于 .
答案:28
解析:由题意得二项式的系数和为2n=256,解得n=8,则3x-1x8展开式的通项公式为Tr+1=C8r(3x)8-r·-1xr=(-1)r·C8r·x8-4r3.
当8-4r3=0,即r=2时,常数项为(-1)2·C82=28.
12.设O1为一个圆柱上底面的中心,A为该圆柱下底面圆周上一点,这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上.若两个底面的面积之和为8π,O1A与底面所成角为60°,则球O的表面积为 .
答案:28π
解析:设球O的半径为R,圆柱上、下底面的半径为r,O2为圆柱下底面的中心.由题意知2πr2=8π,解得r=2.O1A与底面所成角为60°,在Rt△O1O2A中,|O1O2|=23.
根据圆柱的几何特征,R2=|O1O2|22+r2,
即R2=(3)2+22=7.
故该球的表面积S=4πR2=4π×7=28π.
13.(2019浙江,15)已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 .
答案:15
解析:如图,
设PF的中点为M,椭圆的右焦点为F1.由题意可知|OF|=|OM|=c=2.由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4.设P(x,y),则(x-2)2+y2=16.与椭圆方程x29+y25=1联立,解得x=-32,x=212(舍).因为点P在椭圆上且在x轴的上方,所以P-32,152,所以kPF=15212=15.
14.(2019北京,理14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
答案:(1)130 (2)15
解析:(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元.
当y<120时,李明得到的金额为y·80%,符合要求.
当y≥120时,有(y-x)·80%≥y·70%成立,
即8(y-x)≥7y,x≤y8,即x≤y8min=15.
所以x的最大值为15.
二、思维提升训练
15.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
答案:C
解析:A={y|y>0},B={x|-1-1},故选C.
16.(2019浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A.22 B.1 C.2 D.2
答案:C
解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1,c=a2+b2=2.故双曲线的离心率e=ca=2.
17.将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )
A.t=12,s的最小值为π6 B.t=32,s的最小值为π6
C.t=12,s的最小值为π3 D.t=32,s的最小值为π3
答案:A
18.已知a=(1,3),b=(1,0),c=a+kb.若b⊥c,则a与c的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案:A
解析:由a=(1,3),b=(1,0),c=a+kb.
则c=(1+k,3).
由b⊥c,则b·c=0,
即k+1=0,解得k=-1,即c=(0,3).
设a与c的夹角为θ,
则cosθ=a·c|a||c|=323=32.
因为θ∈[0,π],所以θ=π6.故选A.
19.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.52 C.5 D.2
答案:C
解析:∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,
∴其渐近线方程为y=±bax.
∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,
∴渐近线的斜率为2,∴ba=2,
即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,
∴c2a2=5,ca=5,双曲线的离心率e=5.
20.函数y=xsin x在区间[-π,π]上的图象是( )
答案:A
解析:容易判断函数y=xsinx为偶函数,可排除D;当00,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.
21.(2019山东潍坊5月三模)五行学说是中国创造的哲学思想,古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成.如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选两类元素,则这两类元素相生的选取方案共有( )
A.10种 B.15种 C.4种 D.5种
答案:D
解析:从5类元素中任选两类元素,它们相生的选取有:火土,土金,金水,水木,木火,共5种,故选D.
22.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,cosBsinC·AB+cosCsinB·AC=2m·AO,则m的值为( )
A.32 B.2 C.1 D.12
答案:A
解析:如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,
则AO=23AD,13AB+13AC=2m·AO,
∴13(AB+AC)=2m×23AD,
∴13·2AD=43mAD,
∴m=32,故选A.
23.已知i是虚数单位,则复数6+7i1+2i= .
答案:4-i
解析:6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=20-5i5=4-i.
24.将函数y=sin2x+π6的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后,得到函数f(x)的图象.若函数f(x)是偶函数,则φ等于 .
答案:π3
解析:由题意知将函数y=sin2x+π6的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后,
得到函数f(x)=sin2(x-φ)+π6=sin2x-2φ+π6的图象.
若函数f(x)是偶函数,则-2φ+π6=kπ+π2(k∈Z),
即φ=-kπ2-π6(k∈Z).因为0<φ<π,所以φ=π3.
25.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+2=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点.若点M在圆O上,OM=OA+OB,则实数k= .
答案:±1
解析:如图,OM=OA+OB,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由21+k2=1,解得k=±1.
26.若2cos 2α=sinπ4-α,α∈π2,π,则sin 2α= .
答案:-78
解析:由2cos2α=sinπ4-α,得2sinπ2-2α=sinπ4-α,
即4sinπ4-αcosπ4-α=sinπ4-α.
因为sinπ4-α≠0,
所以cosπ4-α=14.
所以sin2α=cosπ2-2α=2cos2π4-α-1=-78.
27.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .
答案:12
解析:由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=23.
设AD=x,则0≤x≤23,CD=23-x.在△ABD中,由余弦定理知BD=4+x2-23x=1+(x-3)2.
在△PBD中,设BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,
从而VP-BCD≤13·d·S△BCD=13·PD·PB·sin30°BD·12·BC·CD·sin30°=16·x(23-x)1+(x-3)2.
令1+(x-3)2=t∈[1,2],则VP-BCD≤4-t26t≤12易知f(t)=4-t26t在区间[1,2]上单调递减,即VP-BCD的最大值为12.
28.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S55-S22=3,则数列{an}的公差为 .
答案:2
解析:∵Sn=na1+n(n-1)2d,
∴Snn=a1+n-12d,
∴S55-S22=a1+5-12d-a1+2-12d=32d.
又S55-S22=3,
∴d=2.