【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换学案

第2课时　简单的三角恒等变换 ‎　　　　　　三角函数式的化简(师生共研)‎ ‎ 化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ ；‎ ‎(2)·＝ ．‎ ‎【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)‎ ‎＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)‎ ‎＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．‎ ‎(2)原式＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ ‎【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2) ‎(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．‎ ‎1．(2020·长沙模拟)化简：＝ ．‎ 解析：＝＝‎ ＝4sin α.‎ 答案：4sin α ‎2．化简：.‎ 解：原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝cos 2x.‎ ‎　　　　　　三角函数式的求值(多维探究)‎ 角度一　给角求值 ‎ 计算＝ ．‎ ‎【解析】　 ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝2.‎ ‎【答案】　2 角度二　给值求值 ‎ 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ ‎【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.‎ 因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，‎ 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．‎ 又因为cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 因此tan(α＋β)＝－2.‎ 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，‎ 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.‎ 角度三　给值求角 ‎ (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为 ．‎ ‎【解析】　法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.‎ 又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.‎ 因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ 所以sin(2α－β)＝×－×＝.‎ 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.‎ 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，‎ 又β为锐角，所以－＜2α－β＜，‎ 又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.‎ 法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.‎ 因为α，β为锐角，所以α－β∈.‎ 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.‎ 所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，‎ 故cos(α－β)＝＝＝.‎ 又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．‎ 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.‎ 所以2α－β＝.‎ ‎【答案】　 三角函数求值的3种情况 ‎1．计算：＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.‎ ‎2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.‎ ‎3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝ ，α＋β＝ ．‎ 解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.‎ 答案：　 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：选A.cos2＝ ‎＝＝，又sin 2α＝，‎ 所以原式＝＝，故选A.‎ ‎2.＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选A.＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)‎ A．－ B. C. D． 解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.‎ ‎4．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　)‎ A．± B．－ C. D．± 解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos ‎＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D.‎ ‎5．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选C.由题意知＝sin 2θ，‎ 所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，‎ 则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，‎ 因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．‎ ‎6．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝ ．‎ 解析：法一：因为cos 2θ＝，‎ 所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，‎ 因为cos2θ＝，sin2θ＝，‎ 所以sin4θ＋cos4θ＝.‎ 法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ ‎＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.‎ 答案： ‎7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝ ．‎ 解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.‎ 答案： ‎8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于 ．‎ 解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)‎ ‎＝·cos 10° ‎＝· ‎＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ 解：由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ 所以tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ 因为α∈，β∈，‎ 所以<α＋β<，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎10．已知sin＝，α∈.求：‎ ‎(1)cos α的值；‎ ‎(2)sin的值．‎ 解：(1)sin＝，‎ 即sin αcos＋cos αsin＝，‎ 化简得sin α＋cos α＝，①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①②解得cos α＝－或cos α＝，‎ 因为α∈.所以cos α＝－.‎ ‎(2)因为α∈，cos α＝－，‎ 所以sin α＝，‎ 则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，‎ 所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝ ．‎ 解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.‎ 答案： ‎2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是 ．‎ 解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.‎ 答案： ‎3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？‎ 解：连接OB，设∠AOB＝θ，‎ 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.‎ 因为A，D关于原点O对称，‎ 所以AD＝2OA＝40cos θ.‎ 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ ‎＝400sin 2θ.因为θ∈，‎ 所以当sin 2θ＝1，‎ 即θ＝时，Smax＝400(m2)．‎ 此时AO＝DO＝10(m)．‎ 故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.‎ ‎4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.‎ ‎(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，‎ 所以cos α＝.‎ 由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，‎ 得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝－.‎