2020届高三数学上学期期末考试质量检测试题 文（含解析）

2020届高三数学上学期期末考试质量检测试题 文（含解析）

亳州市2017-2019学年度第一学期期末高三质量检测 数学试卷（文）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则下图阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以阴影部分为，故选C。‎ ‎2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，所以在第三象限，故选C。‎ ‎3. 在边长为2的正方形中随机取一点，则该点来自正方形的内切圆及其内部的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D。‎ ‎4. 平面向量满足，，，下列说法正确的是（ ）‎ A. B.与同向 C.与反向 D.与夹角为 ‎【答案】B ‎【解析】，得，所以，则同向，故选B。‎ ‎5. 已知等比数列满足，，则（ ）‎ A. -48 B. 48 C. 48或-6 D. -48或6‎ - 13 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，，得或1，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故选D。‎ ‎6. 平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作角，其终边与单位圆交于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，，‎ ‎，故选B。‎ ‎7. 在三棱锥中，，则点在平面的射影一定在（ ）‎ A. 边的中线上 B. 边的高线上 C. 边的中垂线上 D. 的平分线上 ‎【答案】C ‎【解析】由可知，它们的投影长度相等，则点的投影是底面的外心，即在边的中垂线上，故选C。‎ ‎8. 执行如图的程序框图，若输出的，则图中①处可填的条件是（ ）‎ - 13 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5），‎ 所以添加条件为，故选C。‎ ‎9. 已知某五面体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为直角梯形，则该几何体的体积是（ ）‎ - 13 -‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A。‎ ‎10. 设为正实数，且满足，下列说法正确的是（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为2‎ C. 的最小值为4 D. 的最大值为 ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，得，‎ 故选B。‎ 点睛：本题考查基本不等式的应用。求的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则；求的最值，是基本不等式的公式直接应用，得。‎ ‎11. 已知双曲线过点，过左焦点的直线与双曲线的左支交于两点，右焦点为，若，且，则的面积为（ ）‎ A. 16 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，所以，设，则，‎ 所以是以为直角的等腰直角三角形，‎ - 13 -‎ 则，则，故选A。 ‎ 点睛：本题考查双曲线的几何性质。本题中，由双曲线的几何性质，，‎ 设，则，通过示意图我们可知是以为直角的等腰直角三角形，利用几何方法解题即可。‎ ‎12. 已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 当时，，令，‎ 则，所以在单调递减，且，‎ 所以在单调递增，单调递减，，‎ 当时，，‎ 令，则，‎ 所以在单调递增，且，‎ 所以在单调递减，单调递增，，‎ 所以得到大致图象如下：‎ - 13 -‎ 由图知，若有三个零点，则，且，得取值范围是，‎ 故选A。‎ 点睛：本题考查导数的应用。在含参的零点个数问题中，我们常用方法是分参，利用数形结合的方法，转化为两函数图象的交点个数问题。具体函数通过求导，判断单调性，得到函数的大致图象，解得答案。‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知实数满足不等式组，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 由图可知，过点时，的最小值为1.‎ ‎14. 与双曲线共焦点，且经过点的椭圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，且，所以，所以椭圆方程为。‎ ‎15. 若函数是偶函数，则__________．‎ - 13 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知，有，则，得。‎ ‎16. 已知正项数列的前项和为，且为和的等差中项，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则由公式可知，，‎ ‎，又，得，则。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角所对的边为，满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得；（2）由余弦定理和基本不等式得，所以面积的最大值为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理和可得：‎ ‎ ‎ 因为为三角形内角，故，，‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）由条件，，故，即，‎ 故的面积的最大值为.‎ 点睛：本题考查解三角形。本题中由条件可知，首先利用正弦定理边化角，得到角C。求面积的最值一般的，利用余弦定理得到边的关系，再利用基本不等式解决最值问题。也可以利用正弦定理转化为角进行求解最值。‎ - 13 -‎ ‎18. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面平面直线，求证：直线.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由题证明，，所以平面，故；（2）平面，又因为平面，平面平面，所以.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取线段的中点，连接 在直角梯形中，由条件易得，‎ 又因为，为中点，所以，‎ 因为平面，且 所以平面，故 ‎（2）解：由条件可知在梯形中，，平面，平面，‎ 所以平面 又因为平面，平面平面 所以.‎ ‎19. 某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境，为评估花卉的生长水平，现对该花卉植株的高度（单位：厘米）进行抽查，所得数据分组为，据此制作的频率分布直方图如图所示.‎ - 13 -‎ ‎（1）求出直方图中的值；‎ ‎（2）利用直方图估算花卉植株高度的中位数；‎ ‎（3）若样本容量为32，现准备从高度在的植株中继续抽取2颗做进一步调查，求抽取植株来自同一组的概率.‎ ‎【答案】（1）0.0625（2）26（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）；（2）中位数估计为：；（3）高度在的植株个数为，高度在的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件，故所求概率为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件，；‎ ‎（2）由于，故中位数估计为：；‎ ‎（3）由样本容量为32可知，高度在的植株个数为：，‎ 高度在的植株个数为2，可计算基本事件总数为：28，植株来自同一组有基本事件，故所求概率为.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，点满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用抛物线的几何定义，得；（2）设，联立，当时，得，即直线。‎ 试题解析：‎ - 13 -‎ ‎（1）由条件易知在抛物线上，，‎ 故，即抛物线的方程为；‎ ‎（2）易知直线斜率必存在，设，，，‎ ‎①，‎ 联立得即，‎ 由得，‎ 且②，③，‎ 由①②③得，即直线.‎ ‎21. 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）求证：当时，对任意都有；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎..................‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，当时，显然成立；‎ 当时，；‎ 令，，则，‎ 可得，，减；，，增；‎ 故时，，‎ 综上，任意都有，得证.‎ ‎（2）函数定义域为，令，若有两个极值点，则有两个变号零点，且，‎ - 13 -‎ 当时，在上恒成立，函数在上单增，至多有一个零点，此时不存在两个极值点；‎ 当时，令，可得，且，‎ ‎，即函数在单减，在单增，‎ 若条件成立，则必有 ，此时，‎ 下证：时，函数有两个零点 由于，故，即在有唯一零点，记为；‎ 易得时，，且 ，‎ 令，则，由（1）可得大于0恒成立，从而，‎ 即，故在有唯一零点，记为，‎ 从而，，；，；，‎ 综上，函数有两个极值点时，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线上的动点到直线的最大距离为，求的值.‎ ‎【答案】（1），直线的普通方程为：（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为，，故可得曲线，直线的普通方程为：；（2）由点到直线的距离公式可得： ，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，‎ - 13 -‎ 因为，，故可得曲线，‎ 由消去参数可得直线的普通方程为：；‎ ‎（2）由（1）可得曲线的参数方程为：（为参数），‎ 由点到直线的距离公式可得： ‎ 据条件可知，由于，分如下情况：‎ ‎①时，由得；‎ ‎②时，由得；‎ 综上，.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中为实数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1），解得解集是；（2）去绝对值分类得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）时，，‎ 故，即不等式的解集是；‎ ‎（2）时， ，‎ 当时，，显然满足条件，此时为任意值；‎ 当时，；‎ 当时，可得或，求得；‎ 综上，.‎ 点睛：本题考查绝对值不等式问题。解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，得到分段函数 - 13 -‎ ‎，再分别解不等式即可。绝对值问题的核心就是去绝对值。‎ ‎ ‎ - 13 -‎