2018-2019学年四川省眉山市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省眉山市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省眉山市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集2，3，4，，集合，则　　‎ A． B．‎ C．2， D．2，3，4，‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用补集的概念直接求解.‎ ‎【详解】‎ 全集，集合 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集的运算，属于基础题.‎ ‎2．计算：　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用对数运算法则，直接求解.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的基本运算，属于基础题.‎ ‎3．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数的基本定义，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎4．函数是　　‎ A．偶函数且最小正周期为 B．奇函数且最小正周期为 C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故是偶函数且最小正周期为，故选A.‎ ‎【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的性质.‎ ‎5．设0，，1，2，，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有a的值有　　‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：使函数的定义域为R的有1，2，3，其中为奇函数的有1，3，故选择B ‎【考点】幂函数的性质 ‎6．设集合，，若，则实数a的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用集合的包含关系，确定端点值位置，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 在数轴上表示和的关系，如下图所示：‎ 可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的关系，对于无限数集，采用数轴可直观体现包含关系.‎ ‎7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的　　‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由变为，方向为向右平移；再依据左右平移是只针对的变化量，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像平移，关键在于明确左右平移只针对的变化量.‎ ‎8．函数的部分图象如图，则，可以取的一组值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对称轴和对称中心的位置确定周期，从而得到；再代入最大值点，求得的取值.‎ ‎【详解】‎ 为对称轴，为对称中心 ‎ ‎ 代入点可得： ‎ 当时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数图像求解析式，关键在于能够通过图像确定周期和最值点，通过对应关系求出参数.‎ ‎9．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f ‎ 那么函数一定存在零点的区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】定义在上的函数的图象是连续不断的，由图知满足，‎ 根据零点存在定理可知在一点存在零点.‎ 故选C.‎ 点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.‎ ‎10．设函数，则满足的x的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数特点，分别让每一段解析式满足不等式，求出符合题意的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时， ‎ ‎②当时， ‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用分段函数解析式求解不等式，易错点在于忽略了解析式自带的范围限定，造成求解错误.‎ ‎11．同时具有性质“周期为，图象关于直线对称，在上是增函数”的函数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依次验证各个选项，排除法得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：函数周期，不符合题意；‎ 选项：函数周期，正确；当时，，是的对称轴，正确；当时，，此时单调递减，不符合题意；‎ 选项：函数周期，正确；当时，，不是的对称轴，不符合题意；‎ 选项：函数周期，正确；当时，，是的对称轴，正确；当时，，此时单调递增，正确；符合题意.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像与性质，关键在于能够充分利用整体代入的方式，利用和、图像的对比判断出结果.‎ ‎12．已知奇函数的定义域为，当时，，若函数的零点恰有两个，则实数a的取值范围是　　‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】根据零点个数和奇偶性，确定在上只有一个零点，通过二次函数图像得到取值范围.‎ ‎【详解】‎ 为奇函数 ‎ ‎ 为奇函数 恰好有两个零点，由对称性可知在上只有个零点 当时， 在上单调递增 时，，只需即可保证在上有唯一个零点 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数性质和函数零点问题，关键在于确定上零点个数，再利用二次函数图像来求解.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】根据定义域的基本要求，得到不等式组，求解得定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定义域的基本要求，偶次根式被开方数不小于零；对数真数大于零.属于基础题.‎ ‎14．若，则的值等于______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用二倍角公式展开后，约分得到结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角关系式的化简求值，属于基础题.‎ ‎15．设定义在R上的函数的周期为，当时，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用周期将化成，代入解析式求出结果.‎ ‎【详解】‎ 定义在上的函数的周期为 ‎ 当时，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数周期性的应用，关键在于利用周期将自变量转化到已知解析式的区间内，再代入求值.‎ ‎16．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】通过秒时水量相等得到与之间的关系，再代入秒时的函数关系式中，求得，最终求得.‎ ‎【详解】‎ 秒后两桶水量相等 ‎ 若秒后水量为： ，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用，关键是能够利用函数关系式建立起水量和时间之间的等量关系.‎ 三、解答题 ‎17．已知，，求以及的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据同角三角函数，求出，；再利用两角和差公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.‎ ‎18．已知函数 求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ 求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合．‎ ‎【答案】（1）递减区间为，；（2）取得最大值，x的取值范围是 ‎【解析】（1）将函数整理为，再来判断周期和单调递减区间；（2）最大值即为图像最高点，通过最高点确定的集合.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 的最小正周期：‎ 当时，单调递减 ‎ 即：单调递减区间为：，‎ ‎（2）当，即时，取得最大值 此时： ‎ 取最大值时的集合为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像与性质的应用，关键在于把整理为的形式，然后利用整体对应的方式，求解出相应的结果.‎ ‎19．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度 瓦平方米，它的强弱等级分贝．‎ 已知生活中几种声音的强度如表：‎ 声音来源 声音大小 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 强度瓦平方米 强弱等级分贝 ‎10‎ m ‎90‎ 求a和m的值 为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）瓦平方米 ‎【解析】（1）通过两个已知的分贝数，代入函数关系式求得和；（2）通过，解出的范围，得到最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将瓦平方米，瓦平方米代入 得： ‎ 则： ‎ 由题意得：，即：，‎ 得，即 ‎ 此时声音强度的最大值为瓦平方米 ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用，属于基础题.‎ ‎20．已知函数．‎ Ⅰ若，求的值；‎ Ⅱ设函数，求函数的值域．‎ ‎【答案】Ⅰ；（2）‎ ‎【解析】（1）利用两角和差公式将函数拆解，即可得到结果；（2）利用两角和差公式和辅助角公式将整理为，即可求得值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎ ‎ 即的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查型的函数值域的求解，关键在于将已知的三角关系式通过公式整理为的形式，再进行求解.‎ ‎21．已知二次函数有两个零点0和，且最小值是，函数与的图象关于原点对称．‎ 求和的解析式；‎ 若在区间上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意，设，对称轴是，所以，所以，即.与关于原点对称，所以.（2）化简，当时，满足在区间上是增函数；当时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于；当时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于.综上求得实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，设，对称轴是，‎ ‎∴，∴，∴‎ 由函数与的图象关于原点对称，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）得 ‎①当时，满足在区间上是增函数；‎ ‎②当时，图象在对称轴是，则，‎ 又∵，解得 ‎③当时，有，又∵，解得 综上所述，满足条件的实数的取值范围是 ‎【考点】函数的单调性与最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数单调性.第一问待定系数法求解析式，主要根据题目给定的条件是函数的零点，所以设二次函数的零点式，根据函数的对称轴和极值，就可以求得二次函数的解析式.第二问是引入一个新的函数，它是一个含有参数的函数，所以根据二次项系数和对称轴进行分类讨论实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数，．‎ 若函数为奇函数，求实数a的值；‎ 设函数，且，已知对任意的恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的定义求解；（2）利用分离变量的方式得到，求解函数最小值得到取值范围.‎ ‎【详解】‎ 为奇函数 ‎ 即：‎ 化简得： ‎ ‎（2）‎ 即：‎ 化简得：‎ 设，‎ 则 ‎ 对任意的恒成立 对任意，不等式恒成立 即：，又 ‎ 设，，即 ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数中的恒成立问题，常用的方法为分离常数法，通过分离得到所求变量和函数之间的大小关系，通过求最值得方式求得取值范围.‎