北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 含解析

北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 含解析

‎2019~2020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（　　）‎ A．{x|x≤0} B．{x|1≤x＜2} ‎ C．{x|x≤0或1≤x＜2} D．{x|0≤x≤1}‎ ‎2．（5分）复数的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）∃x≥0，使2x+x﹣a≤0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≥‎1 ‎C．a＜1 D．a≤1‎ ‎4．（5分）设向量，满足+＝（3，1），•＝1，则|﹣|＝（　　）‎ A．2 B． C．2 D．‎ ‎5．（5分）设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎1 ‎C．1 D．2‎ ‎6．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎8．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线 的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）若函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调递减，则ω＝（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎11．（5分）已知点P在圆x2+y2＝4上，A（﹣2，0），B（2，0），M为BP中点，则sin∠BAM的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知f（x）＝（ex﹣a）（3ax+1），若f（x）≥0（x∈R）成立，则满足条件的a的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知函数，则不等式f（x）＜1的解集为　 　．‎ ‎15．（5分）已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2﹣2an+1，若，则S5＝　 　．‎ ‎16．（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成角为α，则sinα的最大值为　 　．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分 ‎17．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°．‎ ‎（1）若△MCD为等腰三角形，求BC；‎ ‎（2）设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ．‎ ‎18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AC⊥BC，O为BC中点，C1O⊥底面ABC，点M在线段BB1上，且C‎1M⊥BB1．‎ ‎（1）证明：A‎1M⊥BB1；‎ ‎（2）若AC＝BC，MB＝MB1，求二面角C﹣A‎1M﹣C1的余弦值．‎ ‎19．（12分）近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ x 工业增加值y ‎13.2‎ ‎13.8‎ ‎16.5‎ ‎19.5‎ ‎20.9‎ ‎22.2‎ ‎23.4‎ ‎23.7‎ ‎24.8‎ ‎28‎ 依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎5.5‎ ‎20.6‎ ‎82.5‎ ‎211.52‎ ‎129.6‎ ‎（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数y＝μevx，其拟合指数R2＝0.93；研究人员乙采用函数y＝mxn，其拟合指数R2＝0.95；研究人员丙采用线性函数y＝bx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好．（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2＝r2）．‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关．‎ 附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数，‎ ‎，，．‎ ‎20．（12分）已知椭圆，离心率，过点M（1，﹣1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点．当l⊥x轴时，．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，直线，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；‎ ‎（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．‎ ‎23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣1．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤x+1；‎ ‎（2）证明：‎3f（x）≥f（2x）．‎ ‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（　　）‎ A．{x|x≤0} B．{x|1≤x＜2} ‎ C．{x|x≤0或1≤x＜2} D．{x|0≤x≤1}‎ ‎【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M＝{x|x2﹣x≥0}＝{x|x≤0或x≥1}，N＝{x|x＜2}，‎ ‎∴M∩N＝{x|x≤0或1≤x＜2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．（5分）复数的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵＝，‎ ‎∴复数的虚部是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3．（5分）∃x≥0，使2x+x﹣a≤0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≥‎1 ‎C．a＜1 D．a≤1‎ ‎【分析】∃x≥0使2x+x﹣a≤0，等价于a≥（2x+x）min，‎ 求出2x+x在x∈[0，+∞）上的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∃x≥0，使2x+x﹣a≤0，等价于a≥（2x+x）min，‎ 设f（x）＝2x+x，x∈[0，+∞），‎ 则函数f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数，‎ 所以f（x）≥f（0）＝1，‎ 所以a的取值范围是a≥1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了存在量词与特称命题的应用问题，是基础题．‎ ‎4．（5分）设向量，满足+＝（3，1），•＝1，则|﹣|＝（　　）‎ A．2 B． C．2 D．‎ ‎【分析】配方变形得|﹣|＝＝，再代入已知可得．‎ ‎【解答】解：|﹣|＝＝＝＝‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题，‎ ‎5．（5分）设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎1 ‎C．1 D．2‎ ‎【分析】根据等差数列的求和公式即可求出．‎ ‎【解答】解：∵S10＝S13，a1＝22，‎ ‎∴10×22+×d＝13×22+d，‎ 解得d＝﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．‎ ‎6．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）r22r﹣‎6C6rx3﹣r 令3﹣r＝2得r＝1‎ 所以项展开式中，x2的系数为﹣‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．‎ ‎7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎【分析】由三视图知该四棱锥是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，截去一个同底等高的三棱锥所得部分，结合图中数据求出该四棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，该四棱锥是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，‎ 截去一个同底等高的三棱锥所得部分，如图所示；‎ 所以该四棱锥P﹣ABCD的体积为V＝×2×2×2﹣××2×2×2＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题．‎ ‎8．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x＝﹣，‎ 准线方程与双曲线的渐近线方程y＝±x，‎ 联立解得y＝±，可得|AB|＝，‎ ‎△ABF为等边三角形，可得p＝•，‎ 即有＝，‎ 则e＝＝＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．‎ ‎9．（5分）将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝＝20，甲、乙被分在不同组中包含的基本事件个数m＝＝12，由此能求出甲、乙被分在不同组中的概率．‎ ‎【解答】解：将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，‎ 基本事件总数n＝＝20，‎ 甲、乙被分在不同组中包含的基本事件个数m＝＝12，‎ ‎∴甲、乙被分在不同组中的概率为p＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．（5分）若函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调递减，则ω＝（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【分析】由题意利用正弦函数的单调性以及图象的对称性，可得ω•+φ＝kπ，k∈Z，且 φ＝，+＝π，由此求得ω的值．‎ ‎【解答】解：∵函数 的图象关于点对称，‎ ‎∴ω•+φ＝kπ，k∈Z．‎ ‎∵f（x）在上单调递减，∴ω•x+φ∈[φ，ω•+φ]，∴φ＝，且+＝π，‎ 求得ω＝3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知点P在圆x2+y2＝4上，A（﹣2，0），B（2，0），M为BP中点，则sin∠BAM的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设 P（2cosα，2sinα），则M（1+cosα，sinα）先求出AM的斜率的最大值，在得出sin∠NAM的最大值．‎ ‎【解答】解：设 P（2cosα，2sinα），则M（1+cosα，sinα），‎ tan∠BAM＝＝≤，‎ ‎∴sin∠BAM，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．‎ ‎12．（5分）已知f（x）＝（ex﹣a）（3ax+1），若f（x）≥0（x∈R）成立，则满足条件的a的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当a＝0，②当a＜0，③当a＞0，‎ 再利用导数研究函数的解得个数得：设φ（a）＝alna，则φ′（a）＝1+lna由导数的应用可得：φ（a）＝alna在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则φ（a）min＝﹣，即lna＝﹣有两解，综合①②③得解．‎ ‎【解答】解：①当a＝0时，f（x）＝ex＞0≥0，满足题意，‎ ‎②当a＜0时，ex﹣a＞0，∃x0∈（﹣，+∞），3ax+1＜0，故f（x）≥0（x∈R）不恒成立，‎ ‎③当a＞0时，设g（x）＝ex﹣a，h（x）＝3ax+1，‎ 令g（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，h（x）＝3ax+1＝0，得x＝﹣，‎ 设φ（a）＝alna，则φ′（a）＝1+lna 由导数的应用可得：‎ φ（a）＝alna在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，‎ 则φ（a）min＝﹣，‎ 即lna＝﹣有两解，‎ 又g（x）＝ex﹣a，h（x）＝3ax+1均为增函数，‎ 所以存在2个a使得f（x）≥0（x∈R）成立，‎ 综合①②③得：‎ 满足条件的a的个数是3个，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为　2　．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 由z＝x+2y，得y＝﹣x+，‎ 平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，‎ 直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．‎ 由，得A（0，1），‎ 此时z的最大值为z＝0+2×1＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎14．（5分）已知函数，则不等式f（x）＜1的解集为　（﹣1，e﹣1）　．‎ ‎【分析】分段求解x的范围即可；‎ ‎【解答】解：函数，‎ 不等式f（x）＜1，即或 解得：﹣1＜x＜0或0≤x＜e﹣1‎ 不等式f（x）＜1的解集为：（﹣1，e﹣1）．‎ 故答案为：（﹣1，e﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎15．（5分）已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2﹣2an+1，若，则S5＝　　．‎ ‎【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的前5项，然后求解数列的和．‎ ‎【解答】解：Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2﹣2an+1，若，‎ 可得a1＝2﹣‎2a2＝1，a1+a2＝2﹣‎2a3＝1，解得a3＝，‎ a1+a2+a3＝2﹣‎2a4＝1+，a4＝，‎ a1+a2+a3+a4＝2﹣‎2a5＝1++，a5＝，‎ 则S5＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．‎ ‎16．（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成角为α，则sinα的最大值为　　．‎ ‎【分析】作CE⊥AB，由面面垂直的性质可知CE垂直平面SAB，即得α，通过设AE＝x，引进函数，利用不等式可得最值．‎ ‎【解答】解：如图，不妨设SA＝AB＝2，‎ 作CE⊥AB于E，‎ 易知CE⊥平面SAB，‎ ‎∴∠EMC即为MC与平面SAB所成角α，‎ sinα＝，‎ 设AE＝x，（0＜x＜2），‎ 由余弦定理可得ME＝‎ 由相交弦定理可得CE＝，‎ ‎∴MC＝‎ ‎∴sinα＝＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当且仅当x+1＝即x＝时，取等号．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了直线与平面所成角，函数与不等式等，难度适中．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分 ‎17．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°．‎ ‎（1）若△MCD为等腰三角形，求BC；‎ ‎（2）设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ．‎ ‎【分析】（1）由题意利用三角形的边角关系求得MC和MB的值，再利用余弦定理求得BC的值；‎ ‎（2）根据题意利用正弦定理求得MC、MB的值，利用MB＝4MC列方程求出sinθ、cosθ的关系，从而求出tanθ的值．‎ ‎【解答】解：（1）由AB∥CD，∠A＝60°，可得∠D＝120°，‎ 又△MCD为等腰三角形，所以∠DMC＝∠DCM＝30°，‎ 从而MC＝MD＝，∠AMB＝90°，‎ 所以MB＝2；‎ 在△MBC中，由余弦定理得，‎ BC2＝BM2+MC2﹣2BM•MC•cos∠BMC＝12+3﹣2×2××＝9，‎ 所以BC＝3；‎ ‎（2）因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°﹣θ，0°＜θ＜60°，‎ 在△MCD中，由正弦定理得MC＝＝；‎ 在△MAB中，由正弦定理得MB＝＝，‎ 由MB＝4MC，得＝，‎ 即2sin（60°﹣θ）＝sinθ，‎ 化简得cosθ＝2sinθ，‎ 求得tanθ＝．‎ ‎【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．‎ ‎18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AC⊥BC，O为BC中点，C1O⊥底面ABC，点M在线段BB1上，且C‎1M⊥BB1．‎ ‎（1）证明：A‎1M⊥BB1；‎ ‎（2）若AC＝BC，MB＝MB1，求二面角C﹣A‎1M﹣C1的余弦值．‎ ‎【分析】（1）可得AC⊥BB1．且C‎1M⊥BB1．可证明B1B⊥面A‎1C1M，即可得A‎1M⊥BB1；‎ ‎（2）以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用两个面的法向量求解．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵C1O⊥面ABC，而AC⊂面ABC，∴C1O⊥AC，…（1分）‎ 又∵AC⊥BC，∵C1O∩BC＝O，…（3分）‎ ‎∴AC⊥面BCC1B1，B1B⊂面BB‎1C1C，AC⊥BB1．‎ ‎∵AC∥A‎1C1，∴BB1⊥A‎1C1，‎ 且C‎1M⊥BB1．且C‎1M∩A‎1C1，‎ ‎∴B1B⊂面A‎1C1M，∴A‎1M⊥BB1；‎ ‎（2），以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 由O为BC中点，MB＝MB1，C1O⊥BC，C‎1M⊥BB1知CC1＝C1B＝C1B1，‎ ‎∴△C1CB，△C1BB1为等比三角形，设AC＝BC＝2，‎ 则C（0，﹣1，0），A（2，﹣1，0），B（0，1，0），B1（0，2，），C1（0，0，）．‎ M（0，，），，，‎ 设面角A1MC1的法向量为，‎ ‎⇒．‎ ‎＝＝（﹣2，﹣1，﹣）．‎ 设面A‎1CM的法向量为 ‎，‎ ‎⇒．‎ cos＝，‎ ‎∴二面角C﹣A‎1M﹣C1的余弦值为．．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．‎ ‎19．（12分）近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如表：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份序号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 工业增加值y ‎13.2‎ ‎13.8‎ ‎16.5‎ ‎19.5‎ ‎20.9‎ ‎22.2‎ ‎23.4‎ ‎23.7‎ ‎24.8‎ ‎28‎ 依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎5.5‎ ‎20.6‎ ‎82.5‎ ‎211.52‎ ‎129.6‎ ‎（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y（万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数y＝μevx，其拟合指数R2＝0.93；研究人员乙采用函数y＝mxn，其拟合指数R2＝0.95；研究人员丙采用线性函数y＝bx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好．（注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2＝r2）．‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关．‎ 附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数，，，．‎ ‎【分析】（1）根据相关数据求出r的值，求出R2的值即可；‎ ‎（2）求出相关系数，从而求出回归方程；‎ ‎（3）分别求出y的预报值，判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）r＝≈0.981，‎ R2＝r2≈0.962，‎ ‎∵R2越大，拟合效果越好，‎ 故丙的拟合效果最好；‎ ‎（2）＝≈1.571，‎ ‎＝20.6﹣×5.5≈11.96，‎ 故回归方程是：＝1.57x+11.96；‎ ‎（3）从2008年开始计数，2018年是第11年，‎ 其工业增加值y的预报值＝1.57×11+11.96＝29.23＜30，‎ ‎2019年是第12年，‎ 其工业增加值y的预报值＝1.57×12+11.96＝30.80＞30，‎ 故预测到2019年工业增加值能突破30万亿元大关．‎ ‎【点评】本题考查了拟合指数，考查回归方程以及函数求值，是一道常规题．‎ ‎20．（12分）已知椭圆，离心率，过点M（1，﹣1）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点．当l⊥x轴时，．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值．‎ ‎【分析】（1）先由离心率得出a＝2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆C的方程，求出b和a的值，从而可得出椭圆C的方程；‎ ‎（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论．‎ ‎①当直线l与x轴垂直时，求出点A、B的坐标，再利用斜率公式求出kNA+kNB的值；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x+1），并设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出kNA+kNB的值，结合①②证明出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由于椭圆C的离心率为，所以，a＝2b，则椭圆C的方程为，‎ 由于当l⊥x轴时，，所以，点在椭圆C上，‎ 将点的坐标代入椭圆方程得，解得b＝1，则a＝2b＝2，‎ 因此，椭圆C的方程为；‎ ‎（2）①当直线l与x轴垂直时，设点、，点N的坐标为（0，1），‎ 此时，；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k﹣1，‎ 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（4k2+1）x2﹣8k（k+1）x+4k（k+2）＝0，‎ 由韦达定理得，，‎ 所以，＝＝＝‎ ‎＝．‎ 综上所述，kNA+kNB为定值﹣2．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程与几何性质，同时也考查了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出f（x1）+f（x2）＝alna﹣‎2a2+‎3a，令g（a）＝alna﹣‎2a2+‎3a，根据函数的单调性求出其最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣‎4a+＝（a＞0），‎ ‎（i）当0＜a≤时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎（ii）当a＞时，f′（x）＝0的根为x1＝‎2a﹣，x2＝‎2a+，‎ 故f（x）在（0，‎2a﹣），（‎2a+，+∞）递增，在（‎2a﹣，‎2a+，+∞）递减；‎ ‎（2）由（1）得a＞，x1＝‎2a﹣，x2＝‎2a+，‎ 故x1+x2＝‎4a，x1x2＝a，‎ 故f（x1）+f（x2）‎ ‎＝（+）﹣‎4a（x1+x2）+alnx1x2+‎6a2+‎‎4a ‎＝alna﹣‎2a2+‎3a，‎ 令g（a）＝alna﹣‎2a2+‎3a，g′（a）＝lna﹣‎4a+4，‎ 令h（a）＝lna﹣‎4a+4，h′（a）＝﹣4，‎ ‎∵a＞，∴h′（a）＜0，‎ 故h（a）在（，+∞）递减，又h（1）＝0，‎ 从而a∈（，1）时，h（a）＞0，g′（a）＞0，g（a）递增，‎ a∈（1，+∞）时，h（a）＜0，g′（a）＜0，g（a）递减，‎ 故a＝1时，g（a）取最大值1，故f（x1）+f（x2）的最大值是1．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，直线，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；‎ ‎（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化的规则，以及直角坐标方程与参数方程转化规则易得直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；‎ ‎（2）点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，故可用点到直线的距离公式计算出点P到直线l的距离，再由坐标的几何意义计算出点P到x轴的距离，将d1+d2的值表示为θ的三角函数，利用三角函数的最值求法即可求出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线，整理得，‎ 所以直线l的直角坐标方程是，整理得，‎ 圆C：ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，由公式得x2+y2﹣4y＝0，‎ 所以圆的参数方程是；‎ ‎（2）∵点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，‎ d1+d2＝+2+2sinθ＝+2+2sinθ＝+2＝5+2sin（）≤7，‎ 等号当且仅当时取到，故d1+d2的最大值是7．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程以及直角坐标方程转化为参数方程的方法，以及利用圆的参数方程解决圆的点到直线的距离的表示方程以及三角函数最值的求法，知识性强综合性强，‎ ‎23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣1．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤x+1； （2）证明：‎3f（x）≥f（2x）．‎ ‎【分析】（1）绝对值不等式的解法讨论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜x＜1时，③当x≥1时，得解；‎ ‎（2）分段讨论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜x≤﹣时，③当﹣＜x≤时，④当＜x≤1时，⑤当x＞1时，命题可得证．‎ ‎【解答】解：（1）①当x≤﹣1时，f（x）≤x+1等价于﹣（x+1）﹣（x﹣1）﹣1≤x+1，解得此方程无解，‎ ‎②当﹣1＜x＜1时，f（x）≤x+1等价于（x+1）﹣（x﹣1）﹣1≤x+1，解得0≤x＜1，‎ ‎③当x≥1时，f（x）≤x+1等价于（x+1）+（x﹣1）﹣1≤x+1，解得1≤x≤2，‎ 综合①②③可得：‎ 不等式的解集为：‎ ‎（2）①当x≤﹣1时，‎3f（x）﹣f（2x）＝﹣2x﹣2＝﹣2（x+1）≥0．即‎3f（x）≥f（2x），‎ ‎②当﹣1＜x≤﹣时，‎3f（x）﹣f（2x）＝4（x+1）≥0，即‎3f（x）≥f（2x），‎ ‎③当﹣＜x≤时，‎3f（x）﹣f（2x）＝3（x+1）﹣3（x﹣1）﹣3﹣（2x+1）+（2x﹣1）+1＝2≥0，即‎3f（x）≥f（2x），‎ ‎④当＜x≤1时，‎3f（x）﹣f（2x）＝3（x+1）﹣3（x﹣1）﹣3﹣（2x+1）﹣（2x﹣1）+1＝﹣4（x﹣1）≥0，即‎3f（x）≥f（2x），‎ ‎⑤当x＞1时，‎3f（x）﹣f（2x）＝3（x+1）+3（x﹣1）﹣3﹣（2x+1）﹣（2x﹣1）+1＝2（x﹣1）≥0，即‎3f（x）≥f（2x），‎ 综合①②③④⑤得：‎3f（x）≥f（2x），故命题得证．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的证明，属中档题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/12/29 18:50:23；用户：专研；邮箱：18911202748；学号：12387402‎