2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题

‎2018年重庆一中高2019级高二下期半期考试 数学试题卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的定义域为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 在等差数列中，，则（ ）‎ A． 6 B．7 C.8 D．9‎ ‎5.设，则“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.函数的单调递增区间是（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.（原创）已知函数，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为 （ ）‎ A．2 B．3 C. 4 D．5‎ ‎11.若直线被圆所截得的弦长为6，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的函数满足，对任意的，且，均有.若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的值域是 ．‎ ‎14.函数是定义在上的奇函数，且恒有，则 ．‎ ‎15.（原创）重庆一中开展的“第十届校园田径运动会”中，甲、乙、丙、丁四位同学每人参加了一个项目，且参加的项目各不相同，这个四个项目分别是：跳高、跳远、铅球、跑步.下面是关于他们各自参加的活动的一些判断：‎ ‎①甲不参加跳高，也不参加跳远；②乙不参加跳远，也不参加铅球；‎ ‎③丙不参加跳高，也不参加跳远；④如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.‎ 已知这些判断都是正确的，则乙参加了 ．‎ ‎16.（原创）设函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.（原创）在中，角的对边分别为，其面积为.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎18.（改编）我校高二年级共2000名学生，其中男生1200人.为调查学生们的手机使用情况，采用分层抽样的方法，随机抽取100位学生每周平均使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，得到学生每周平均使用手机上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间分别为.‎ ‎（1）应收集男生、女生样本数据各多少人？‎ ‎（2）估计我校高二年级学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率.‎ ‎（3）将平均每周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机”，在内定义为“短时间使用手机”.在样本数据中，有25名学生不近视.请完成下列2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“‎ 学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.‎ 近视 不近视 合计 长时间使用手机上网 短时间使用手机上网 ‎15‎ 合计 ‎25‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，点为线段上异于的点，连接，并延长和交于点，连接.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为2，求的长度.‎ ‎20.已知椭圆的焦距为，且长轴与短轴的比为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）椭圆的上、下顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，轴于点，，直线与直线交于点，点为线段的中点，点为坐标原点，求证：恒为定值，并求出该定值.‎ ‎21.（改编）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且.‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（原创）【选修4-4：极坐标与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBCBA 6-10: DCADB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 0 15. 跳高 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ ‎，∴.又∵，∴；‎ ‎（2），由余弦定理得，，‎ 所以，的周长为.‎ ‎18.解：（1）男生人数：（人），女生人数：（人）；‎ ‎（2）学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率；‎ ‎（3）由（2）问可知，的人数为75人，的人数为25人.则2×2列联表如下：‎ 近视 不近视 合计 长时间使用手机上网 ‎65‎ ‎10‎ ‎75‎ 短时间使用手机上网 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎，‎ 故有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.‎ ‎19.（1）因为面面，所以，‎ 又因为四边形是正方形，所以，又，‎ 所以面，又面，所以面面；‎ ‎（2）因为.‎ 又因为，则，‎ 于是在中，.‎ ‎20.解：（1）由题意，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设点，则由题意.‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 由（1）知，，所以，令，则点.‎ 又∵，∴.‎ 于是，‎ ‎，‎ 所以，恒为定值.‎ ‎21.解析：（1）当时，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴在点处的切线方程为，即；‎ ‎（2）①函数的定义域为，且，‎ 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正实根，‎ ‎∴有两个不同的正实根，‎ ‎∴，‎ 即的取值范围是.‎ ‎②由题意，的两根为，由韦达定理，，‎ 其中，‎ 于是，‎ 令，则在上恒成立，‎ 即函数在上为减函数，‎ 又因为，所以，即.‎ ‎22.证明（1）因为，‎ 所以曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，‎ 得，设两点对应的参数分别为，则，‎ 于是，‎ 直线的普通方程为，则原点到直线的距离，‎ 所以.‎ ‎23.解：（1）当时，，‎ 由得或或，解得或，‎ 所以，解集为；‎ ‎（2）设，则由题意，‎ 又∵，‎ ‎∴，解得，‎ 因此，实数的取值范围是.‎