2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省涡阳第一中学高一下学期第二次质量检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据基底的定义依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】‎ 中为零向量，不能作为基底；‎ 中与为非零向量，且不共线，可作为基底；‎ 中，与共线，不能作为基底；‎ 中，与共线，不能作为基底.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基底的定义，属于基础题.‎ ‎2．设是的对角线的交点，则向量等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据相等向量的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 且与同向 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相等向量的判定，属于基础题.‎ ‎3．现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.‎ ‎②涡阳县某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.‎ ‎③涡阳县某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.‎ 较为合理的抽样方法是（ ）‎ A．①简单随机抽样， ②系统抽样， ③分层抽样 B．①简单随机抽样， ②分层抽样， ③系统抽样 C．①系统抽样， ②简单随机抽样， ③分层抽样 D．①分层抽样， ②系统抽样， ③简单随机抽样 ‎【答案】B ‎【解析】根据三种不同抽样方法适合的不同情况依次来判断应选取的抽样方法.‎ ‎【详解】‎ ‎①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；‎ ‎②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；‎ ‎③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计中的抽样方法问题，关键是明确各种抽样方法所适用的情况.‎ ‎4．已知向量在方向上的投影为2，，则为（ ）‎ A．2 B． C．-2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据数量积运算、向量在方向上的投影的定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解向量的数量积，涉及到向量在方向上的投影的应用，属于基础题.‎ ‎5．已知，，，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正切函数单调性可得；利用作差法可得，从而可得三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 在上单调递增且 ‎，即 ‎， ，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数值的比较，关键是能够利用正切函数单调性和作差法来进行判断.‎ ‎6．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】按照向量的运算法则展开后利用数量积的性质可得．‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．‎ ‎7．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）‎ A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.‎ B．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变.‎ C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.‎ D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据三角函数图象伸缩变换原则，可知变化为横坐标的变化 由变，则横坐标应缩短为原来的 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的伸缩变换，属于基础题.‎ ‎8．已知，，，则（ ）‎ A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】利用平面向量的线性运算求得,由共线定理证明三点共线.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ ‎，‎ 与共线，‎ 即三点共线，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算以及共线的性质，属于中档题. 向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.‎ ‎9．为弘扬传统文化，某县举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于等于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示．则获得复赛资格的人数为（ ）‎ A．640 B．520 C．280 D．240‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据直方图中，每个矩形的面积和为1，求得后三个矩形的面积和，可得初赛成绩大于等于90分的频率，与总人数相乘即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得初赛成绩大于等于90分的频率为 ‎，‎ ‎∴获得复赛资格的人数为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图的性质与应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎10．已知向量，，若与共线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量共线可求得；从而利用正余弦的齐次式求解方法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 与共线 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦的齐次式的求解问题，关键是能够利用向量共线求得正切值，利用平方关系和商数关系构造出关于正切的方程.‎ ‎11．已知中，向量，则点的轨迹通过的（ ）‎ A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 ‎【答案】D ‎【解析】根据向量线性运算可知点在中线上，重心为中线交点，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设为中点，则 ‎，即点在中线上 可知点轨迹必过的重心 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形“四心”的问题，关键是能够通过线性运算确定点在中线上.‎ ‎12．若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用向量夹角公式 计算即可．‎ 详解：由题，则 ‎ ‎ 同理可得又 ‎ 则与的夹角余弦值为 点睛： 本题考查向量夹角的计算，考查向量数量积的综合运算，属基础题.．‎ 二、填空题 ‎13．已知，，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据二倍角的正切公式求得，根据两角和差的正切公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差正切公式、二倍角的正切公式求值的问题，考查基础计算能力.‎ ‎14．已知向量，，若，则实数_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】向量垂直可知向量数量积等于零，利用坐标运算构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ 由得：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.‎ ‎15．已知正方形的边长为1，，，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量线性运算可知，利用正方形可求得，代入得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ 四边形是边长为的正方形 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模长的求解，关键是能够利用线性运算简化为一个向量的模长.‎ ‎16．函数，的单调减区间是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将整体放入的单调递减区间中，求出的范围；根据给赋值可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得：，‎ ‎ 的单调递减区间为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的单调区间的求解，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求证：；‎ ‎（2）计算的值.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】（1）利用两角和差的正弦公式表示出和，作和整理即可证得结论；（2）利用，可将原式构造成两角和差正切公式的形式，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）；‎ 左右两边分别相加得：‎ ‎（2） 原式 ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差正弦公式、正切公式证明、化简求值的问题，属于基础题.‎ ‎18．已知平面坐标系中，点为原点，，.‎ ‎（1）求向量的坐标及；‎ ‎（2）若，，求及的坐标；‎ ‎（3）求在方向上的投影.‎ ‎【答案】（1）；；（2），；（3）‎ ‎【解析】根据向量的坐标运算、在方向上的投影的公式即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）在方向上的投影为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，考查基础运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，其中，，，其部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式与单调增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值及此时相应的值.‎ ‎【答案】(1)；； (2)当时，；当时，‎ ‎【解析】（1）根据图象可知，，利用周期可求得；代入，结合的范围可求得，进而得到函数解析式；将整体放入的单调增区间中，求得的范围即为的单调增区间；（2）利用的范围求得的范围，结合的图象可求得最值和取得最值时的取值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图可知：，‎ ‎，即： ‎ 又 ，即：‎ ‎， ，‎ ‎ ‎ 令，，解得：，‎ 的单调增区间为：‎ ‎（2） ‎ 当时，，此时 当时，，此时 ‎【点睛】‎ 本题考查根据图象求解函数的解析式、正弦型函数单调区间的求解、最值点的求解问题，关键是能够采用整体对应的方式来研究函数的单调性和值域.‎ ‎20．已知向量，‎ ‎（1）求与同向的单位向量；‎ ‎（2）若向量，请以向量，为基底表示向量；‎ ‎（3）若，夹角为，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】（1）利用坐标运算可求得，根据求得结果；（2）设，可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（3）利用向量数量积求得，根据二倍角余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ 与同向的单位向量：‎ ‎（2）设，则 ‎，解得：‎ ‎（3）‎ ‎，即 ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，涉及到向量数量积求向量夹角、平面向量基本定理的应用、同向的单位向量的求解，主要考察运算能力.‎ ‎21．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.‎ ‎【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．‎ ‎【解析】试题分析：解：由题意可得 在三角形OCB中，OC=1,,‎ 所以 BC=sinOB=cos 在三角形OAD中，，AD="BC=" sin 所以所以AB="OB-OA=" cos-5分 则，矩形ABCD的面积为 ‎=‎ ‎==‎ 所以矩形ABCD面积的最大值为。‎ 此时==12分 ‎【考点】三角函数的运用 点评：主要是考查了三角函数的实际问题中的运用，属于中档题。‎ ‎22．已知向量，，若函数的最大值为 ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）求使成立的的取值集合；‎ ‎（3）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）利用两角和差正弦公式和辅助角公式整理出，根据最大值为得到的方程，解方程求得结果；（2）由（1）可得，从而得到角的范围，解不等式求得的范围即可；（3）根据左右平移得到，代入得到函数的解析式，利用换元法可把函数变为二次函数，根据的范围可求得函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ，解得：‎ ‎（2）由（1）得：‎ 要使成立，只需满足即可 解得：‎ 满足成立的的取值集合是：‎ ‎（3）由（1）得 令，则，且 由得：‎ 函数的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数的最值求解参数值、根据值域求解函数定义域、利用换元法求解函数的值域的问题.关键是能够将函数化为的形式，从而可研究正弦函数的定义域和值域；其中涉及到二次函数型的值域问题的求解.‎