黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含答案

黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含答案

鹤岗一中 2019~2020 学年度上学期期末考试 高二数学(文)试题 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） 1.复数 的实部为( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 2.命题“存在 x∈R,2x≤0”的否定是( ) A．不存在 x∈R,使 2x >0 B．存在 x∈R,使 2x≥0 C．对任意 x∈R,都有 2x≤0 D．对任意 x∈R,都有 2x>0 3.已知命题 ：方程 表示双曲线；命题 ： .命题 是命题 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若直线 与直线 平行，则 （ ） A． B．2 C． D．0 5. 甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 89 89 86 85 方差 2．1 3．5 2．1 5．6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6.某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400,300，300,200. 为做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进 行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A．120 B．40 C．30 D．20 7. 从一批产品（其中正品、次品都多于两件）中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列 5 1 2 2 iz i −= + p 2 2ax by 1+ = q b 0 a< < p q 2 2 4 0x my m+ − + = 2 2 0mx y m+ − + = m = 2− 2± x 2S 事件是互斥事件的是（ ） ①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品； ③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品. （A）①② （B）①④ （C）③④ （D）①③ 8. 下列事件是随机事件的是（ ） ①当 时， ； ② 当 有解 ③当 关于 x 的方程 在实数集内有解；④当 时， A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 9.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五 级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把 80 个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高 一级就多分 个（ 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得 30 个橘子的概率 是（ ） A． B． C． D． 10.某中学早上 8 点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7：40 至 8：00 之间到校，且两人 在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为(　　) A． B． C． D． 11. 为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了 60 名高中生， 通过问卷调查，得到以下数据： 语文成绩优秀 语文成绩非优秀 总计 男生 10 20 30 女生 20 10 30 总计 30 30 60 经过计算， ，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 10x ≥ lg 1x ≥ 2, 1 0x R x∈ + = ,a R∈ 2 0x a+ = sin sinα β> α β> m m 1 8 1 7 1 6 1 5 1 2 3 64 5 64 9 32 2 6.667K ≈ 2( )P K k≥ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．有 的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 B．有 的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 C．有 的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系 D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系 12.设直线 l：y＝2x＋2，若 l 与椭圆 的交点为 A，B，点 P 为椭圆上的动点，则 使△PAB 的面积为 的点 P 的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪 犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是 小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是 假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________. 14. 如图， 是半径为 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点 ，连接 ， 则弦 的长度不超过 的概率是__________． 15.已知 x，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 若 y 与 x 呈线性相关，且回归方程为 = x+ ，则 等于__________． k 99.5% 99.2% 99% 2 2 14 yx + = 2 1− M R N MN MN 3R ˆy ˆb ˆb 16.（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1。 （2）线性回归直线必过点 ； （3）对于分类变量 与 的随机变量 ， 越大说明“ 与 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数 的值越大，说明拟合的 效果越好. （5）根据最小二乘法由一组样本点 ，求得的回归方程是 ，对所有的解 释变量 ， 的值一定与 有误差。 以上命题正确的序号为_ ________. 三、解答题（17—21 题每小题 12 分，22 题 10 分，共 70 分） 17.已知命题 ，使 ；命题 ，使 . （1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围. 18. 某书店为了了解销售单价（单位：元）在 ]内的图书销售情况，从 2018 年上半年 已经销售的图书中随机抽取 100 本，获得的所有样本数据按照 , ， ， ， , 分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图,已知样本中销售单价 在 内的图书数是销售单价在 内的图书数的 2 倍． ( ),x y A B 2k 2k A B 2R ( ),i ix y ˆˆ ˆy bx a= + ix ˆ ˆibx a+ iy :p x R∃ ∈ 2 ( 1) 1 0x a x+ − + < : [2,4]q x∀ ∈ 2log 0x a− ≥ p a p q∨ p q∧ a [8,20] [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20] [14,16) [18,20] （1）求出 与 ，再根据频率分布直方图估计这 100 本图书销售单价的平均数、中位数（同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取 40 本，求单价在 6 组样本数 据中的图书销售的数量； （3）从（2）中抽取且价格低于 12 元的书中任取 2 本，求这 2 本书价格都不低于 10 元的概 率． 19. 设某地区乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 时间代号 1 2 3 4 5 6 储蓄存款 （千亿元） 3.5 5 6 7 8 9.5 （1）求关于 的回归方程 ，并预测该地区 2019 年的人民币储蓄存款（用最简分数 作答）. （2）在含有一个解释变量的线性模型中， 恰好等于相关系数 的平方，当 时， 认为线性回归模型是有效的，请计算 并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到 ）. 附： , x y y x 2R r 2 0.8R > 2R 0.001 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) , ( ˆ ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b r x n x x x = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) , ( ˆ ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b r x n x x x = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nx y r x nx y ny = = = − ⋅ =   − −     ∑ ∑ ∑ 20.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 110 人，其中女性 50 人，男性 60 人．女性 中有 30 人主要的休闲方式是看电视，另外 20 人主要的休闲方式是运动；男性中有 20 人主要 的休闲方式是看电视，另外 40 人主要的休闲方式是运动． （1）根据以上数据建立一个 2×2 列联表； （2）判断是否有 99%的把握认为性别与休闲方式有关系． 下面临界值表供参考： P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10. 828 （参考公式：K2= ） 21. 如图，椭圆 经过点 ，且点 到椭圆的两焦点的距 离之和为 . （l）求椭圆 的标准方程； （2）若 是椭圆 上的两个点，线段 的中垂线 的斜率为 且直线 与 交于点 ， 为坐标原点，求证： 三点共线． ( )( )( )( ) 2n(ad bc) a b c d a c b d − + + + + ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 4 1,3 3M      M 2 2 C ,R S C RS l 1 2 l RS P O , ,P O M 22.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 C 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴正方向建立直角坐标系，点 ，直线 与 曲线 C 交于 A、B 两点． (1)写出直线 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程； (2) 线段 MA，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求 的值． l 21 2{ 2 2 x t y t = − + = t 2 sin 1 sin θρ θ= − x ( 1,0)M − l l MA MB⋅ 高二数学文科答案 1. B 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.D 13.乙 14. 15. 16. (1)(2)(3)(4) 17. 解：（1）由命题 P 为假命题可得： ，即 ， 所以实数 的取值范围是 . （2） 为真命题， 为假命题，则 一真一假. 若 为真命题，则有 或 ，若 为真命题，则有 . 则当 真 假时，则有 当 假 真时，则有 所以实数 的取值范围是 . 18. （1）样本中图书的销售单价在 内的图书数是 ， 样本中图书的销售单价在 内的图书数是 ， 依据题意，有 ，即 ，① 根据频率分布直方图可知 ，② 由①②得 ． 根据频率分布直方图估计这 100 本图书销售单价的平均数为 =0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元） 中位数 15 元 （2）因为销售单价在 的图书的分层抽样比 为 1：2：4：6：4：3，故在抽取的 40 本图书中，销售单价在 内的图书分别为 （本） 2 3 1 2 2( 1) 4 0a∆ = − − ≤ 2 2 3 0a a− − ≤ a [ ]1,3− p q∨ p q∧ p q、 p 1a < − 3a > q 1a ≤ p q 3a > p q 1 1a− ≤ ≤ a [ 1,1] (3, )− ∪ +∞ [ )14,16 2 100 200x x× = [ )18 20， 2 100 200y y× = 200 2 200x y= × 2x y= ( )0.1 2 0.025 0.05 2 1x y× + + + + × = 0.15, 0.075x y= = 8 10 10 12 12 14 14 16 16 18 18 200.025 2 0.05 2 0.1 2 0.15 2 0.1 2 0.075 22 2 2 2 2 2 + + + + + +× × + × × + × × + × × + × × + × × [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]8,10 , 10,12 , 12,14 , 14,16 , 16,18 , 18,20 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]8,10 , 10,12 , 12,14 , 14,16 , 16,18 , 18,20 1 2 4 6 4 340 2,40 4,40 8,40 12,40 8,40 620 20 20 20 20 20 × = × = × = × = × = × = （3）这 40 本书中价格低于 12 元的共有 6 本，其中价格低于 10 元的 2 本，记这 2 本为 ，另外 4 本记为 ，从中抽取 2 本的基本事件有： 共 15 个，其中价格不低于 10 元的有 6 个，所以： 这 2 本书价格都不低于 10 元的概率 ． 19. （1） （1+2+3+4+5+6） ， （3.5+5+6+7+8+9.5） ， 故 ， ， 故回归方程为：y x ， 2019 对应的 x＝8， x＝8 时，y ， 故预测存款是 千亿元； （2）r 0.99699， 故 R2≈0.994＞0.8， 故模型的拟合效果有效． 20. （1）2×2 的列联表： 休闲方式性别 看电视 运动 合计 女 30 20 50 男 20 40 60 合计 50 60 110 （2）根据列联表中的数据，计算 的观测值为 = ≈7.822＞6.635， 1 2,A A 1 2 3 4, , ,B B B B 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 6 2 15 5P = = 1 6x = 7 2 = 1 6y = 13 2 = ˆ 8 7b = ˆ 5 2a = 8 7 = 5 2 + 163 14 = 163 14 1 2 2 1 1( ) ( ) n i ii n n i ii i x y nxy x x y y = = = − = ≈ − − ∑ ∑ ∑ 2K 2K 2110 (30 40 20 20) 50 60 50 60 × × − × × × × 所以有 99%的把握认为休闲方式与性别有关系． 21. （1）因为点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ， 所以 ，解得 . 又椭圆 经过点 ，所以 . 所以 . 所以椭圆 的标准方程为 . 证明：（2）因为线段 的中垂线 的斜率为 ， 所以直线 的斜率为-2. 所以可设直线 的方程为 . 据 得 . 设点 ， ， . 所以 ， . 所以 ， . 因为 ，所以 . 所以点 在直线 上. 又点 ， 也在直线 上， 所以 三点共线. 22.（1）将直线 的参数方程消去参数 得： ， M 2 2 2 2 2a = 2a = C 4 1,3 3M      2 2 2 2 4 1 3 3 1a b          + = 2 1b = C 2 2 12 x y+ = RS l 1 2 RS RS 2y x m= − + 2 2 2 , 1,2 y x m x y = − + + = 2 29 8 2 2 0x mx m− + − = ( )1 1,R x y ( )2 2,S x y ( )0 0,P x y 1 2 8 9 mx x+ = ( )1 2 1 2 1 22 2 2y y x m x m x x+ = − + − + = − + 8 22 2 29 9 m mm m+ = − ⋅ + = 1 2 0 4 2 9 x x mx += = 1 2 0 2 9 y y my += = 0 0 1 4 y x = 0 0 1 4y x= P 1 4y x= ( )0,0O 4 1,3 3M      1 4y x= , ,P O M l t 1x y= − + ∴直线 的极坐标方程 ， 曲线 的极坐标方程化成 ， 其普通方程是 . （2）将 代入 得 ， ∵点 在直线上，∴ ． l 2 cos( ) 14 πρ θ + = C 2 2sin cosρ θ ρ θ= 2y x= 21 2 2 2 x t y t  = − +  = 2y x= 2 3 2 2 0t t− + = ( )1 0M − ， 1 2 2MA MB t t⋅ = =