河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

洛阳市2019——2020学年第一学期期中考试 高二数学试卷 第I卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.‎ ‎2.考试结束，将答题卡交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，那么下列不等式中不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，，，则，即，故A正确；‎ 由，即，故B正确；‎ 由，即，故C错误；‎ 由，所以，故D正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由题中条件判断所给的不等式，熟记不等式的性质即可，属于常考题型.‎ ‎2.在中，内角的对边分别为，若，则一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到，推出，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，由正弦定理得：，所以，‎ 故，所以一定是等腰三角形.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎3.若数列的通项公式，则此数列是（ ）‎ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 以上都不 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，计算，得出，即可判断出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此数列是递增数列.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查递增数列的判断，根据作差法比较大小即可，属于常考题型.‎ ‎4.下列函数中，的最小值为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立；‎ 当时，，当且仅当，即时，等号成立；故A错误；‎ 对于B选项，，当且仅当，即时，取等号，而显然不成立；函数取不到最小值，故B错误；‎ 对于C选项，，当且仅当，即时，等号成立；故C正确；‎ 对于D选项，因为，所以，又，当且仅当，即时，等号成立，但，故D错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式，并注意取等号的条件即可，属于常考题型.‎ ‎5.已知等比数列满足：，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质得到，根据题意解得，且，根据等比数列的通项公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为等比数列满足：，所以，解得或，‎ 又，所以，且，因此，则，故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与性质即可，属于常考题型.‎ ‎6.已知锐角三角形的三边分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意知三角形三个内角都是锐角，分别根据边长为所对的角为锐角，边长为所对的角为锐角两种情况，结合余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为锐角三角形的三边分别为，‎ 则三角形的三个内角都是锐角，‎ 设边长为所对的锐角为，由余弦定理可得：，‎ 则；‎ 设边长为所对的锐角为，由余弦定理可得：，‎ 则；‎ 综上，的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查由三角形的形状求参数的问题，熟记余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎7.若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算，得到，推出，再由基本不等式得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，且，‎ 即，所以，即，‎ 解得或（舍），所以，当且仅当时，取等号.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查对数的运用，以及由基本不等式求积的最小值，熟记对数运算法则，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎8.已知数列的前项积为，且满足，若，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出前项，确定数列是以为周期的数列，求出前项的乘积，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，所以，‎ 所以，所以，所以数列以为周期，‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.‎ ‎9.如图，在中，是边上一点，，则的长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由余弦定理求出，得出，再由正弦定理得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 因此，所以，‎ 又，，由正弦定理可得：，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎10.实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由得，‎ 因为，所以直线的斜率为，‎ 作出不等式对应的平面区域如下：‎ 由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小。‎ 由解得，即，‎ 此时目标函数的最小值为，‎ 即，所以.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.‎ ‎11.设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，根据等差数列前项和的性质，得到，再由，得到，从而即可求出结果.‎ ‎【详解】因为等差数列的前项和分别为，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 为使，只需，又，所以可能取的值为：，‎ 因此可能取的值为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列前项和的应用，熟记等差数列前项和的公式与性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，结合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，根据三角形面积公式，得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为点是的中点，，，‎ 所以，即，‎ 即，所以，‎ 整理得：，因此，即，‎ 当且仅当时，等号成立；且；‎ 又，所以，‎ 因此面积为 ‎，当且仅当时，取得最大值.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理，结合基本不等式，以及二次函数性质即可求解，属于常考题型.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，则四个数，，，中最小的是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式，先得到，，再由作商法，比较与，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，，‎ 又，所以，‎ 综上，最小.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎14.若实数满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件作出可行域，化目标函数为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，结合图像求出的范围，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如下：‎ 因为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，‎ 由图像可得：；‎ 由直线，易得，，‎ 因此，，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，会分析目标函数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，求出，；再由数列是等比数列，得到也满足，列出等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为数列的前项和，‎ 所以， ；‎ 又，因为数列为等比数列，则也满足，‎ 即，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由等比数列的前项和求参数，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎16.在锐角中，内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，结合正弦定理与两角和的正弦公式，得到，再由，根据三角形形状判断，令，将所求式子化为，根据基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，即，‎ 即，‎ 所以，‎ 又，‎ 因为为锐角三角形，所以，因此；‎ 所以 ‎，‎ 令，则 ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号；‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记正弦定理，两角和的正弦、正切公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设为等差数列的前项和.已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；‎ ‎（2）由（1）的结果，得到，进而可求出前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意可得，解得，‎ 所以的通项公式为；‎ 由得，‎ 从而 ‎【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型。‎ ‎18.在中，角“的对边分别为.已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2)3或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理，由，得到，即可求出结果；‎ ‎（2）先由，求出，由余弦定理，求出或，再由三角形面积公式，即可求出结果 ‎【详解】在中，因为，‎ 所以由正弦定理得 ；‎ ‎（2）因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 整理得，解得或.‎ 所以的面积或1.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎19.为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张元，使用规定：不记名，每卡每次仅限人，每天仅限次.公司共名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次元，如果要使每位员工健身次，那么公司购买多少张健身卡最合算，共需花费多少元钱？‎ ‎【答案】公司购买张健身卡最合算，共需花费元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设购买张健身卡，这项健身活动的总支出为，根据题意得到，由基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】设购买张健身卡，这项健身活动的总支出为,‎ 则,‎ 即 当且仅当即时取等号.‎ 所以公司购买张健身卡最合算，共需花费元.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎20.（1）设不等式对于满足的实数x都成立，求正实数的取值范围；‎ ‎（2）设不等式对于满足的实数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得，令，由，结合二次函数的性质，只需，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先将原不等式化为，令，原问题可转化为关于的函数在上的函数值恒小于，只需，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由得 令，因为 只需 解得，即正实数的取值范围是 ‎（2）原不等式可化为 令，其中，‎ 则不等式对于满足的实数都成立等价于关于的函数在上的函数值恒小于，‎ 只需，‎ 即，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间关系，熟记二次函数的性质，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型.‎ ‎21.在中，分别为角的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意，得到内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以 即，所以，即，‎ ‎；‎ ‎（2）由题意知内切圆的半径为，‎ 如图，内切圆的圆心为，为切点，‎ 则，‎ 从而，‎ 由余弦定理得，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 从而，‎ 即面积的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎22.设为正项数列的前项和，且.数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）设，问是否存在整数，使数列为递增数列？若存在求的值，若不存在说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；. (2) (3)存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意求出，再由时，，推出数列是以为公差的等差数列，求出的通项；根据，得到，推出数列是以为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）先由（1）得到，根据错位相减法，即可求出结果；‎ ‎（3）先由（1）得，假设存在，满足为递增数列，得到对任意恒成立，列出不等式，分别讨论为奇数，为偶数两种情况，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，解得，‎ 当时，由，及，‎ 相减得，即，‎ 解得或（舍）；即数列是以为公差的等差数列，‎ 故；‎ 由得，所以数列是以为公比的等比数列，‎ 又，故，所以.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 所以，‎ ‎，‎ 相减得 从而；‎ ‎（3）由（1）得，若存在，满足为递增数列，‎ 即对任意恒成立，‎ 由 得 当为奇数时，由得，‎ 当为偶数时，由得，‎ ‎，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，等比数列的求和公式，错位相减法求数列的和，以及数列的增减性即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎