2018届二轮复习专题一第1讲 集合与常用逻辑用语课件（全国通用）
第
1
讲 集合与常用逻辑用语
专题一 集合与常用逻辑用语、不等式
栏目索引
高考
真题体验
1
热点
分类突破
2
高考
押题精练
3
1.(2016·
课标全国乙
)
设集合
A
＝
{
x
|
x
2
－
4
x
＋
3<0}
，
B
＝
{
x
|2
x
－
3>0}
，则
A
∩
B
等于
(
)
解析
由
A
＝
{
x
|
x
2
－
4
x
＋
3<0}
＝
{
x
|1<
x
<3}
，
解析
√
高考真题
体验
1
2
3
2.(2016·
北京
)
设
a
，
b
是向量，则
“
|
a
|
＝
|
b
|
”
是
“
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
”
的
(
)
A.
充分而不必要条件
B
.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D
.
既不充分也不必要条件
解析
若
|
a
|
＝
|
b
|
成立，则以
a
，
b
为邻边构成的四边形为菱形
，
a
＋
b
，
a
－
b
表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等
，
所以
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
不一定成立；反之，若
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
成立
，
则
以
a
，
b
为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等
，
所以
|
a
|
＝
|
b
|
不一定成立，所以
“
|
a
|
＝
|
b
|
”
是
“
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
”
的既不充分也不必要条件
.
解析
√
1
2
3
3.(2016·
浙江
)
命题
“
∀
x
∈
R
，
∃
n
∈
N
*
，使得
n
≥
x
2
”
的否定形式是
(
)
A.
∀
x
∈
R
，
∃
n
∈
N
*
，使得
n
＜
x
2
B.
∀
x
∈
R
，
∀
n
∈
N
*
，使得
n
＜
x
2
C.
∃
x
∈
R
，
∃
n
∈
N
*
，使得
n
＜
x
2
D.
∃
x
∈
R
，
∀
n
∈
N
*
，使得
n
＜
x
2
解析
原命题是全称命题，条件为
∀
x
∈
R
，结论为
∃
n
∈
N
*
，
使得
n
≥
x
2
，其否定形式为特称命题，条件中改量词
，
并
否定结论，只有
D
选项符合
.
解析
√
1
2
3
1.
集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题
.
2
.
高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断
.
考情考向分
析
返回
热点一 集合的关系及运算
1.
集合的运算性质及重要结论
(1)
A
∪
A
＝
A
，
A
∪
∅
＝
A
，
A
∪
B
＝
B
∪
A
.
(2)
A
∩
A
＝
A
，
A
∩
∅
＝
∅
，
A
∩
B
＝
B
∩
A
.
(3)
A
∩
(
∁
U
A
)
＝
∅
，
A
∪
(
∁
U
A
)
＝
U
.
(4)
A
∩
B
＝
A
⇔
A
⊆
B
，
A
∪
B
＝
A
⇔
B
⊆
A
.
2.
集合运算中的常用方法
(1)
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)
若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)
若已知的集合是抽象集合，用
Venn
图求解
.
热点分类突破
例
1
(1)
已知集合
M
＝
{
x
|
x
2
－
2
x
－
8
≤
0}
，集合
N
＝
{
x
|lg
x
≥
0}
，则
M
∩
N
等于
(
)
A.{
x
|
－
2
≤
x
≤
4}
B
.{
x
|
x
≥
1}
C.{
x
|1
≤
x
≤
4}
D
.{
x
|
x
≥
－
2}
解析
M
＝
{
x
|
－
2
≤
x
≤
4}
，
N
＝
{
x
|
x
≥
1}
，考查交集的定义，由数轴可以看出
M
∩
N
＝
{
x
|1
≤
x
≤
4}.
解析
√
(2)
若
X
是一个集合，
τ
是一个以
X
的某些子集为元素的集合，且满足：
①
X
属于
τ
，空集
∅
属于
τ
；
②
τ
中任意多个元素的并集属于
τ
；
③
τ
中任意多个元素的交集属于
τ
.
则称
τ
是集合
X
上的一个拓扑
.
已知集合
X
＝
{
a
，
b
，
c
}
，对于下面给出的四个集合
τ
：
①
τ
＝
{
∅
，
{
a
}
，
{
c
}
，
{
a
，
b
，
c
}}
；
②
τ
＝
{
∅
，
{
b
}
，
{
c
}
，
{
b
，
c
}
，
{
a
，
b
，
c
}}
；
③
τ
＝
{
∅
，
{
a
}
，
{
a
，
b
}
，
{
a
，
c
}}
；
④
τ
＝
{
∅
，
{
a
，
c
}
，
{
b
，
c
}
，
{
c
}
，
{
a
，
b
，
c
}}.
其中是集合
X
上的一个拓扑的集合
τ
的所有序号是
____________.
解析
思维升华
√
√
解析
①
τ
＝
{
∅
，
{
a
}
，
{
c
}
，
{
a
，
b
，
c
}}
，但是
{
a
}
∪
{
c
}
＝
{
a
，
c
}
∉
τ
，所以
①
错
；
②④
都满足集合
X
上的一个拓扑的集合
τ
的三个条件
.
所以
②④
正确
；
③
{
a
，
b
}
∪
{
a
，
c
}
＝
{
a
，
b
，
c
}
∉
τ
，故
③
错
.
所以答案为
②④
.
思维升华
(1)
关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助
Venn
图或数轴求解
.
(2)
对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证
.
思维
升华
跟踪演练
1
(1)
若全集
U
＝
{0,1,2,4}
，且
∁
U
A
＝
{1,2}
，则集合
A
等于
(
)
A.{1,4}
B
.{0,4}
C.{2,4}
D
.{0,2}
解析
集合
A
＝
∁
U
(
∁
U
A
)
＝
{0,4}
，故选
B.
解析
√
解析
√
取
m
的最小值
0
，
n
的最大值
1
，
故选
C.
热点二 四种命题与充要条件
1.
四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假
.
2.
若
p
⇒
q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件；若
p
⇔
q
，则
p
，
q
互为充要条件
.
例
2
(1)
下列命题：
①
已知
m
，
n
表示两条不同的直线，
α
，
β
表示两个不同的平面，并且
m
⊥
α
，
n
⊂
β
，则
“
α
⊥
β
”
是
“
m
∥
n
”
的必要不充分条件
；
②
不存在
x
∈
(0,1)
，使不等式
log
2
x
”
；
q
：
“
直线
l
的斜率
k
>1
”
，则
p
是
q
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析
思维升华
√
但此时直线
l
的斜率不存在，则
p
不是
q
的充分条件
；
思维升华
若直线
l
的斜率
k
>1
，
综上可得，
p
是
q
的必要不充分条件
.
充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)
定义法：正、反方向推理，若
p
⇒
q
，则
p
是
q
的充分条件
(
或
q
是
p
的必要条件
)
；若
p
⇒
q
，且
q
⇒
p
，则
p
是
q
的充分不必要条件
(
或
q
是
p
的必要不充分条件
).
(2)
集合法：利用集合间的包含关系
.
例如，若
A
⊆
B
，则
A
是
B
的充分条件
(
B
是
A
的必要条件
)
；若
A
＝
B
，则
A
是
B
的充要条件
.
(3)
等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
.
思维
升华
/
跟踪演练
2
(1)
下列四个结论中正确的个数是
(
)
①“
x
2
＋
x
－
2>0
”
是
“
x
>1
”
的充分不必要条件；
②
命题：
“
∀
x
∈
R
，
sin
x
≤
1
”
的否定是
“
∃
x
0
∈
R
，
sin
x
0
>1
”
；
③“
若
x
＝
，
则
tan
x
＝
1
”
的逆命题为真命题；
④
若
f
(
x
)
是
R
上的奇函数，则
f
(log
3
2)
＋
f
(log
2
3)
＝
0
.
A.1
B.2
C.3 D.4
解析
√
解析
对于
①
，
x
2
＋
x
－
2>0
⇔
x
>1
或
x
<
－
2
，故
“
x
2
＋
x
－
2>0
”
是
“
x
>1
”
的必要不充分条件，所以
①
错误；
对于
④
，
log
3
2
≠
－
log
2
3
，所以
④
错误
.
②
正确
.
故选
A.
(2)
设
p
：
1<
x
<2
，
q
：
2
x
>1
，则
p
是
q
成立的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析
因为
2
x
>1
，所以
x
>0
，即命题
q
：
x
>0.
因为
p
：
1<
x
<2
能够推出
q
，而
q
不一定能推出
p
，
所以
p
是
q
成立的充分不必要条件，故选
A.
解析
√
热点三 逻辑联结词、量词
1.
命题
p
∨
q
，只要
p
，
q
有一真，即为真；命题
p
∧
q
，只有
p
，
q
均为真，才为真；
綈
p
和
p
为真假对立的命题
.
2.
命题
p
∨
q
的否定是
(
綈
p
)
∧
(
綈
q
)
；命题
p
∧
q
的否定是
(
綈
p
)
∨
(
綈
q
).
3.
“
∀
x
∈
M
，
p
(
x
)
”
的否定为
“
∃
x
0
∈
M
，
綈
p
(
x
0
)
”
；
“
∃
x
0
∈
M
，
p
(
x
0
)
”
的否定为
“
∀
x
∈
M
，
綈
p
(
x
)
”.
例
3
(1)
设
p
，
q
是两个命题，如果
綈
(
p
∨
q
)
是真命题，那么
(
)
A.
p
是真命题且
q
是假命题
B.
p
是真命题且
q
是真命题
C.
p
是假命题且
q
是真命题
D.
p
是假命题且
q
是假命题
解析
√
解析
由
綈
(
p
∨
q
)
是真命题可得
p
∨
q
是假命题
，
由
真值表可得
p
是假命题且
q
是假命题
.
(2)
已知命题
p
：
“
∀
x
∈
[1,2]
，
x
2
－
a
≥
0
”
，命题
q
：
“
∃
x
0
∈
R
，
x
0
＋
2
ax
0
＋
2
－
a
＝
0
”.
若命题
“
(
綈
p
)
∧
q
”
是真命题，则实数
a
的取值范围是
(
)
A.
a
≤
－
2
或
a
＝
1
B.
a
≤
－
2
或
1
≤
a
≤
2
C.
a
>1
D
.
－
2
≤
a
≤
1
解析
命题
p
为真时
a
≤
1
；
解得
a
≥
1
或
a
≤
－
2.(
綈
p
)
∧
q
为真命题，即
(
綈
p
)
真且
q
真，即
a
>1.
解析
思维升华
√
2
(1)
命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立
；
(
2)
判断命题的真假要先明确命题的构成
.
由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算
.
思维
升华
A.
p
为真
B
.
綈
q
为假
C.
p
∧
q
为真
D.
p
∨
q
为假
解析
√
解析
由于三角函数
y
＝
sin
x
的有界性：－
1
≤
sin
x
0
≤
1
，所以
p
假；
所以
y
′
>0
，
y
为单调递增函数，有
y
>0
恒成立，
(2)
命题
p
：
∃
b
∈
R
，使直线
y
＝－
x
＋
b
是曲线
y
＝
x
3
－
3
ax
的切线
.
若
綈
p
为真，则实数
a
的取值范围是
(
)
解析
由
y
＝
x
3
－
3
ax
得
y
′
＝
3
x
2
－
3
a
≥
－
3
a
.
因为命题
“
∃
b
∈
R
使直线
y
＝－
x
＋
b
是曲线
y
＝
x
3
－
3
ax
的切线
”
是假命题，
返回
解析
故选
A.
√
1
2
3
4
A.{
x
|
－
1
≤
x
<1}
B.{
x
|
x
>
－
1}
C.{
x
|
x
<1}
D
.{
x
|
x
≥
1}
押题依据
集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题
.
集合的运算常与不等式
(
特别是一元一次不等式、一元二次不等式
)
的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇
.
解析
押题依据
高考押题精练
√
1
2
3
4
解析
M
＝
{
x
|1
－
x
2
>0}
＝
{
x
|
－
1<
x
<1}
，
N
＝
{
x
|1
＋
x
>0}
＝
{
x
|
x
>
－
1}
，
∴
∁
R
N
＝
{
x
|
x
≤
－
1}
，
∴
M
∪
(
∁
R
N
)
＝
{
x
|
－
1<
x
<1}
∪
{
x
|
x
≤
－
1}
＝
{
x
|
x
<1}
，故选
C
.
1
2
3
4
解析
2.
已知集合
M
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
f
(
x
)}
，若对于任意
(
x
1
，
y
1
)
∈
M
，存在
(
x
2
，
y
2
)
∈
M
，使得
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
0
成立，则称集合
M
是
“
Ω
集合
”.
给出下列
4
个集合：
①
M
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
}
；
②
M
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
e
x
－
2}
；
③
M
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
cos
x
}
；
④
M
＝
{(
x
，
y
)|
y
＝
ln
x
}.
其中是
“
Ω
集合
”
的所有序号为
(
)
A.
②③
B.
③④
C
.
①②④
D.
①③④
押题依据
以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质
(
元素的性质、运算性质
)
作为突破口
.
押题依据
√
1
2
3
4
对于
④
，取
(1,0)
∈
M
，且存在
(
x
2
，
y
2
)
∈
M
，则
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
1
×
x
2
＋
0
×
y
2
＝
x
2
>0
，可知
④
错误
.
同理，可证得
②
和
③
都是正确的
.
故选
A.
1
2
3
4
解析
3.
设
φ
∈
R
，则
“
φ
＝
0
”
是
“
f
(
x
)
＝
cos(
x
＋
φ
)(
x
∈
R
)
为偶函数
”
的
(
)
A.
充分而不必要
条件
B
.
必要而不
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
押题依据
充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念
.
解析
当
φ
＝
0
时，
f
(
x
)
＝
cos(
x
＋
φ
)
＝
cos
x
为偶函数成立；
但当
f
(
x
)
＝
cos(
x
＋
φ
)
为偶函数时，
φ
＝
k
π
，
k
∈
Z
，
所以
φ
＝
0
时，必要条件不成立
.
故选
A
.
押题依据
√
1
2
3
4
解析
4.
给出下列四个命题，其中正确的命题有
(
)
③
若
p
∨
q
为真命题，则
p
∧
q
也为真命题；
A.0
个
B.1
个
C.2
个
D.3
个
押题依据
返回
√
1
2
3
4
押题依据
常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题
.
解析
1
2
3
4
②
充分性不成立，如
a
1
＝
1
，
b
1
＝
1
，
解析
1
2
3
4
③
p
∨
q
为真命题时，
p
，
q
不一定全真，因此
p
∧
q
不一定为真命题；
返回
所以
①②
为真，选
C.
