2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）

绝密★启用前 ‎2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学理科 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、填空题（每题5分共20分）‎ ‎1．下列命题中正确的是（　　）‎ A． 经过点P‎0‎x‎0‎‎,‎y‎0‎的直线都可以用方程y-y‎0‎=kx-‎x‎0‎表示 B． 经过定点A‎0,b的直线都可以用方程y=kx+b表示 C． 经过任意两个不同点P‎1‎x‎1‎‎,‎y‎1‎‎,Px‎2‎‎,‎y‎2‎的直线都可用方程x‎2‎‎-‎x‎1‎y-‎y‎1‎ ‎=‎y‎2‎‎-‎y‎1‎x-‎x‎1‎表示 D． 不经过原点的直线都可以用方程xa‎+yb=1‎表示 ‎2．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　）‎ A． 若α⊥β,m⊂α,n⊂β，则m⊥n B． 若α//β,m⊥α,m⊥n,则n//β C． 若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D． 若m⊥α,m//n,n//β，则α⊥β ‎3．已知直线l‎1‎‎:‎3+mx+4y=5-3m,l‎2‎:2x+‎5+my=8‎平行，则实数m的值为（ ）‎ A． ‎-7‎ B． ‎-1‎ C． ‎-1‎或‎-7‎ D． ‎‎13‎‎3‎ ‎4.已知实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是（　）‎ A．（-2，2） B．（-，2] C． D．（-2，+）‎ ‎5．已知直线l:kx-y+2-k=0‎过定点M，点Px,y在直线‎2x+y-1=0‎上，则PM的最小值是（　　）‎ A． ‎10‎ B． ‎3‎‎5‎‎5‎ C． ‎6‎ D． ‎‎3‎‎5‎ ‎6．若直线l过点A(0,a)‎，斜率为1，圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为（ ）‎ A． ‎3‎‎2‎ B． ‎±3‎‎2‎ C． ‎±2‎ D． ‎‎±‎‎2‎ ‎7．已知直线l：y＝x＋m与曲线x=‎‎1-‎y‎2‎有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A． ［－1,‎2‎) B． (－‎2‎，－1］ C． [1，‎2‎) D． (－‎2‎，1］‎ ‎8．圆x‎2‎‎+y‎2‎+4x+2=0‎与直线l相切于点‎(-3,-1)‎，则直线l的方程为 A． x-y+4=0‎ B． x+y+4=0‎ C． x-y+2=0‎ D． ‎x+y+2=0‎ ‎9．S为顶点的正四面体S-ABC的底面积为‎3‎，D为SC的中点，则BD与AC所成角的余弦值为 A． ‎3‎‎3‎ B． ‎3‎‎2‎ C． ‎3‎‎6‎ D． ‎‎1‎‎6‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，若输入x=8‎，则输出的y值为（ ）‎ A． ‎-‎‎3‎‎4‎ B． ‎1‎‎2‎ C． ‎5‎‎2‎ D． 3‎ ‎11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为 A． B． C． D． ‎ ‎12．点Mx,y在曲线C:x‎2‎-4x+y‎2‎-21=0‎上运动，t=x‎2‎+y‎2‎+12x-12y-150-a，且t的最大值为b，若a，b∈‎R‎+‎，则‎1‎a+1‎‎+‎‎1‎b的最小值为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz面对称的点的坐标为____________.‎ ‎14．已知直线l‎1‎：ax+3y-1=0‎和l‎2‎：‎2x+a-1‎y+1=0‎垂直，则实数a的值为_________．‎ ‎15．若P(2,-1)‎为圆‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=25‎的弦AB的中点，则直线AB的方程是____‎ ‎16．若动点P在直线l:x-2y-2=0‎上，动点Q在直线n:x-2y-6=0‎上，记线段PQ的中点为 M(x‎0‎,y‎0‎)‎‎，且‎(x‎0‎-2)‎‎2‎‎+‎(y‎0‎+1)‎‎2‎≤5‎，则x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的取值范围为 ________.‎ 三、解答题（17题10分，其余各题每题12分共计70分）‎ ‎17．设直线的方程为.‎ ‎（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；‎ ‎（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知两圆x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和 x2+y2+2x+2y﹣8=0‎ ‎（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；‎ ‎（3）求公共弦的长 ‎19.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，ED⊥‎平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，‎ AB=AD=‎1‎‎2‎CD=2‎‎.‎ ‎（1）求证：BC⊥BE；‎ ‎（2）当几何体ABCE的体积等于‎4‎‎3‎时，求四棱锥E-ABCD的侧面积.‎ ‎20．已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．‎ ‎（1）求圆M的方程．‎ ‎（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．‎ ‎21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．‎ ‎（1）求证：AC⊥DE；‎ ‎（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．‎ ‎22.已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；‎ ‎（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．‎ 高二理数参考答案 ‎1-5．CDACB 6-10.DBBCB 11-12.AA ‎11．A取AB的中点M，则‎∠CPM为所求线面角，利用勾股定理求出PM，CM即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 设‎△ABC的中心为E，M为AB 的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点， ∴‎∠CPM是直线PC与平面PAB所成角． ∵‎△ABC是边长为2的等边三角形，‎∴OD=AE=‎2‎‎3‎CM=‎‎2‎‎3‎‎3‎ ，‎∵‎4‎‎3‎π⋅OP‎3‎=‎8‎2‎π‎3‎，∴OP=‎2‎，∴PA=2PD=2OP‎2‎-OD‎2‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎ ．‎∴PM=PA‎2‎+AM‎2‎=‎33‎‎3‎．‎ ‎ ‎∴tan∠CPM=CMPM=‎‎3‎‎11‎‎11‎‎ ．故选：A．‎ ‎12．曲线C:x‎2‎-4x+y‎2‎-21=0‎可化为x-2‎‎2‎‎+y‎2‎=25‎，表示圆心为A‎2,0‎，半径为‎5‎的圆．t=x‎2‎+y‎2‎+12x-12y-150-a=‎(x+6)‎‎2‎+‎(y-6)‎‎2‎-222-a，‎ ‎(x+6)‎‎2‎‎+‎‎(y-6)‎‎2‎可以看作点M到点N‎-6,6‎的距离的平方，圆C上一点M到N的距离的最大值为‎|AN|+5‎，即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点，‎ 所以直线AN的方程为y=-‎‎3‎‎4‎x-2‎，‎ 由y=-‎‎3‎‎4‎x-2‎x-2‎‎2‎‎+y‎2‎=25‎，解得x‎1‎‎=6‎y‎1‎‎=-3‎或x‎2‎‎=-2‎y‎1‎‎=3‎（舍去），‎ ‎∴当x=6‎y=-3‎时，t取得最大值，且tmax‎=‎(6+6)‎‎2‎+‎(-3-6)‎‎2‎-222-a=b，‎ ‎∴a+b=3‎，‎ ‎∴a+1‎‎+b=4‎，‎ ‎∴‎1‎a+1‎‎+‎1‎b=‎1‎‎4‎‎1‎a+1‎‎+‎‎1‎ba+1‎‎+b=‎1‎‎4‎ba+1‎‎+a+1‎b+2‎≥1‎，‎ 当且仅当ba+1‎‎=‎a+1‎b，且a+b=3‎，即a=1,b=2‎时等号成立．故选A．‎ ‎13．(-1，2，3) 14．‎3‎‎5‎ 15．x-y-3=0‎ 16．‎‎[‎16‎‎5‎,16]‎ ‎16.因为动点P在直线a:x-2y-2=0‎上，动点Q在直线b:x-2y-6=0‎上，‎ 直线a:x-2y-2=0‎与直线b:x-2y-6=0‎狐仙平行，‎ 动点P在直线a上，动点Q在直线b上，‎ 所以PQ的中点M在与a,b平行，且到a,b的距离相等的直线上，‎ 设该直线为l，其方程为x-2y+m=0‎，‎ 因为线段PQ的中点为M(x‎0‎,y‎0‎)‎，且‎(x‎0‎-2)‎‎2‎‎+‎(y‎0‎+1)‎‎2‎≤5‎，‎ 点M(x‎0‎,y‎0‎)‎在圆‎(x-2)‎‎2‎‎+‎(y+1)‎‎2‎=5‎的内部或在圆上，‎ 设直线l角圆于A,B，可得点M在线段AB上运动，‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=OM‎2‎,x‎0‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，‎ 所以原点到直线AB的距离的平方为最小，‎ 所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的最小值为‎(‎4‎‎1+4‎)‎‎2‎‎=‎‎16‎‎5‎，OA为最大，‎ 联立x-2y-4=0‎‎(‎x‎+‎(‎y=5‎ ，解得A(4,0),B(0,-2)‎，‎ 当M与A重合时，x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的最大值为‎4‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎=16‎，即x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的最大值为‎16‎，‎ 所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的取值范围是‎[‎16‎‎5‎,16]‎.‎ ‎17．（1）或；（2）．‎ ‎（1），‎ 当时，，…………………………………………2分 当时，，…………………………………………3分 由题意可知，‎ ‎∴，∴，或，…………………………5分 ‎∴的方程为，或.…………………………………………6分 ‎（2）∵不经过第二象限，‎ ‎∴，∴.……………………………………12分 ‎18．解：（1）将两圆化为标准方程，得C1：（x﹣1）2+（y+5）2=50，C2：（x+1）2+（y+1）2=10‎ ‎∴圆C1的圆心为（1，﹣5），半径为r1=5；圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为r2=…（1分）‎ 又∵|C1C2|==2，r1+r2=5+，r1﹣r2=5﹣，‎ 可得 r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2…（3分）‎ ‎∴两圆相交…（4分）‎ ‎（2）将两圆的方程相减，得4x﹣8y+16=0，‎ 化简得：x﹣2y+4=0，‎ ‎∴公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0．…（7分）‎ ‎（3）由（2）知圆C1的圆心（1，﹣5）到直线x﹣2y+4=0的距离 d==3…（12分）‎ 由此可得，公共弦的长l=2=2=2…（12分）‎ ‎19．（1）证明见解析；（2）‎6+2‎2‎+2‎‎6‎.‎ ‎（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，‎ ‎∴∠CBD=90°即：BC⊥BD ‎∵DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥DE 又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE ‎ 由BE⊂平面BDE得：BC⊥BE ‎（2）∵VABCE‎=VE-ABC=‎1‎‎3‎×DE×S‎△ABC=‎1‎‎3‎×DE×‎1‎‎2‎×AB×AD=‎2‎‎3‎DE=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴DE=2‎ ‎∴EA=DE‎2‎+AD‎2‎=2‎‎2‎，BE=DE‎2‎+BD‎2‎=2‎‎3‎，‎ 又AB=2，∴BE2=AB2+AE2‎ ‎∴AB⊥AE ‎∴四棱锥E﹣ABCD的侧面积为 ‎1‎‎2‎‎×DE×AD+‎1‎‎2‎×AE×AB+‎1‎‎2‎×BC×BE+‎1‎‎2‎×DE×CD‎ ‎‎=6+2‎2‎+2‎‎6‎ ‎20．（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程； （2）四边形PAMB的面积为S＝2‎|PM‎|‎‎2‎-4‎，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．‎ 试题解析：‎ ‎(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 根据题意得(1－a)2＋(-1－b)2＝r2 ‎ ‎ (-1－a)2＋(1－b)2＝r2‎ ‎ a+b-2=0‎ 解得a＝b＝1，r＝2.‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.‎ 又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，‎ 所以S＝2|PA′|.‎ 而|PA′|＝‎|PM‎|‎‎2‎-|A‎'‎M‎|‎‎2‎‎=‎‎|PM‎|‎‎2‎-4‎.‎ 即S＝2‎|PM‎|‎‎2‎-4‎.‎ 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|‎ 的值最小，‎ 所以|PM|min＝‎|3×1+4×1+8|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎‎=3‎，‎ 所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2‎|PM‎|‎‎2‎-4‎＝2‎3‎‎2‎‎-4‎＝2.‎ ‎21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．‎ ‎（1）求证：AC⊥DE；‎ ‎（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．‎ 证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，‎ 又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，‎ 因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．‎ 解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，‎ 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），‎ E（0，0，），P（0，﹣，t）．‎ 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），‎ 则，令y=1，得=（），‎ 平面PBD的法向量=（1，0，0），‎ 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，‎ 所以|cos＜＞|==，‎ 所以t=2或t=﹣2（舍）‎ ‎），E（0，0，1），=（），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．‎ ‎22.已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；‎ ‎（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．‎ 解：（1）由题意，dOM=，‎ ‎∵三点A、B、O构成三角形，‎ ‎∴0＜＜2，‎ ‎∴﹣1＜k＜1且k≠0；(2分）‎ ‎（2）直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，‎ ‎∴dOM=，‎ ‎∴|AB|=2=4，‎ ‎∴S=dOM=•=4•=（﹣1＜k＜1且k≠0）；6分）‎ ‎（3）设k2+1=t（t≥1），则S=4•=4•，‎ ‎∴，即t=时，k=±，Smax=4•=2，‎ ‎∴S的最大值为2，取得最大值时k=±．（12分）‎