2019-2020学年陕西省渭南市韩城市教学研究室高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年陕西省渭南市韩城市教学研究室高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020 学年陕西省渭南市韩城市教学研究室高二上学期 期中数学（文）试题 一、单选题 1．已知 ， ，则(　 　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据不等式的性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】 因为 ， ，所以 ， ，因此 ， ； 故选：B 【点睛】 本题主要考查由已知条件判断所给不等式的真假，熟记不等式的性质即可，属于基础题 型. 2．已知等差数列 前 项的和为 ，则 (　 　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质，结合题中条件，得到 ， 即可得出结果. 【详解】 因为等差数列 前 项的和为 ， 由等差数列的性质可得： ， 所以 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查由等差数列的前 项和求数列中的项，熟记等差数列的性质即可，属于基 础题型. 3．已知命题 ： 使 成立． 则 为（ ） 0a < 1 0b− < < 0− < >a ab 2a ab ab> > 2ab a ab> > 0a < 1 0b− < < 0ab > − >a ab 2a ab ab< < 0− > >a ab { }na 9 27 5a = 1 3 5 7 1 2 3 9 59 27+ + +⋅⋅⋅+ = =a a a a a { }na 9 27 1 2 3 9 59 27+ + +⋅⋅⋅+ = =a a a a a 5 3a = n p ,x∃ ∈R 1sin 2x x< p¬ A． 均成立 B． 均成立 C． 使 成立 D． 使 成立 【答案】D 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即 ． 【考点】全称命题. 4．椭圆 的离心率是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆的方程求得 ，得到 ，再利用离心率的定 义，即可求解。 【详解】 由题意，根据椭圆的方程 可知 ，则 ， 所以椭圆的离心率为 ，选 D． 【点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程 或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，建立关于 的方程或不 等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 5．在下列命题中，真命题是(　 　) A．“ 时， ”的否命题 B．“若 ，则 ”的逆命题 C．若 ，则 D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【答案】D 【解析】根据四种命题的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 ,x∀ ∈R 1sin 2x x³ ,x∀ ∈R 1sin 2x x< ,x∃ ∈R 1sin 2x x³ ,x∃ ∈R 1sin 2x x= :p¬ ,sin 2 xx x∀ ∈ ≥R 2 2 19 4 x y+ = 13 3 5 9 2 3 5 3 3, 2a b= = 2 2 5c a b= − = 2 2 19 4 x y+ = 3, 2a b= = 2 2 5c a b= − = 5 3 ce a = = , ,a b c , ,a b c b ,a c , ,a b c 2x = 2 3 2 0x x− + = 3b = 2 9b = x∈R 2 3 0+ 1x > 1y > lg lg 4x y+ = lg lgx y⋅ 4 2 1 1 4 1x > 1y > lg 0x > lg 0>y lg lg 4x y+ = 2lg lglg lg 42 + ⋅ ≤ =   x yx y lg lg 2= =x y 100x y= = ,x y 2 0 { 5 10 0 8 0 x y x y x y − + ≥ − + ≤ + − ≤ 3 4z x y= − 3, 11− 3, 11− − 11, 3− 11,3 2 0 { 5 10 0 8 0 x y x y x y − + ≥ − + ≤ + − ≤ 及其内部，当目标函数 经过点 时， 取最小值 ，经过点 时取最大值 . 【考点】线性规划求最值 8．以双曲线 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为 ，得到 ， 进而可求出结果. 【详解】 由双曲线的方程 可得：右顶点为： ， 设所求抛物线方程为： ， 因为其以 为焦点，所以 ，因此 ； 故抛物线方程为： . 故选：A 【点睛】 本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可， 属于基础题型. 9．不等式 的解集为(　 　) A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解析】先将原不等式化为 ，得到 或 ，求解，即可 得出结果. 【详解】 ,( (0,2), (3,5), (5,3))ABC A B C 3 4z x y= − (3,5)B Z 11− (5,3)C 3 2 2 116 9 x y− = 2 16y x= 2 16y x= − 2 8y x= 2 8y x= − 2 2y px= 42 p = 2 2 116 9 x y− = ( )4,0 2 2y px= ( )4,0 42 p = 8p = 2 16y x= 1 11 < +− xx { }3x x > − 4 2 23x x  < <    { 2x x > }2 1x− < < { }1x x > 2 2 01 − >− x x 2 2 0 1 0 x x  − >  − > 2 2 0 1 0 x x  − <  − < 因为 可化为 ，即 ，即 所以 或 ，解得： 或 . 即原不等式的解集为： 或 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查解分式不等式，熟记不等式的解法即可，属于常考题型. 10．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N)，则 ＋ ＋…＋ 等于(　 　) A．(2n－1)2 B． (2n－1)2 C. 4n－1 D． (4n－1) 【答案】D 【解析】因为在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N)，则可知原数列的公比为 2，首项为1，那么所求的数列的公比为4，首项为1，因此 ＋ ＋…＋ 等于 (4n －1)，选D 11．方程 的两根都大于 2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程 的两根都大于 2，则其对应的函数 与 轴的两个交点都在直线 的右边，由图象的特征 知，应有对称轴大于 2，且 ，解不等式组即可求出 的取值范围. 【详解】 令 ，其对称轴为 由已知方程 的两根都大于 2 所以 ，即 1 11 < +− xx 1 ( 1) 01 − + <− xx 22 01 − <− x x 2 2 01 − >− x x 2 2 0 1 0 x x  − >  − > 2 2 0 1 0 x x  − <  − < 2x > 2 1− < }2 1x− < < 2 1a 2 2a 2 na 1 3 1 3 2 1a 2 2a 2 na 1 3 ( )2 2 5 0x m x m+ − + − = m ( ]5, 4− − ( ], 4−∞ − ( ), 2−∞ − ( ) ( ], 5 5, 4−∞ − − − ( )2 2 5 0x m x m+ − + − = 2( ) ( 2) 5f x x m x m= + − + − x 2x = 0∆ ≥ m 2( ) ( 2) 5f x x m x m= + − + − 2 2 mx −= ( )2 2 5 0x m x m+ − + − = 2 22 (2) 0 0 m f − >  > ∆ ≥  2 2 22 4 2 4 5 0 ( 2) 4(5 ) 0 m m m m m − >  + − + − >  − − − ≥  解得： 故选：A 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了一元二次方程的特征，考 查将其转化为方程组解参数范围的能力，属于中等题. 12．如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点.若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 是双曲线的两顶点， 将椭圆长轴四等分 椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 倍 双曲线与椭圆有公共焦点， 的离心率的比值是 故答案选 二、填空题 13．已知数列 为等差数列，且 ， ，则 ________. 【答案】 【解析】先设等差数列 的公差为 ，根据题中条件，求出首项与公差，进而可得 出通项公式. 【详解】 设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ，所以 ，因此 ， 所以 ， 5 4m− < ≤ − { }na 5 11a = 8 5a = na = 2 21n− + { }na d { }na d 5 11a = 8 5a = 8 53 6= − = −d a a 2d = − 1 5 4 11 8 19= − = + =a a d 因此 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型. 14．点 在直线 的上方，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为点 在直线 的上方， 所以 ,即 故答案为： 15．抛物线 的准线方程是________． 【答案】 【解析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程. 【详解】 因为抛物线 的标准方程为： ，因此 ，即 ； 所以其准线方程为： . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 16．若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】先由 ， ，根据题意，得到 对 恒成立；根据基本不等式求出 的最小值，即 可得出结果. 【详解】 因为 ，又 ， 1 ( 1) 2 21= + − = − +na a n d n 2 21n− + ( 2, )P t− 2 3 6 0x y− + = t 2 3t > ( )2,P t− 2 3 6 0x y− + = 4 3t 6 0− − + < 2 3t > 2 3t > 28y x= − 1 32y = 28y x= − 2 1 8 = −x y 12 8 =p 1 16 =p 1 32y = 1 32y = 2 11 ax x x ≤− + 0x > a ( ],1−∞ 2 2 1 31 02 4x x x − + = − + >   0x > 2 1 1 1 − +≤ = + −x xa xx x 0x > 1 1x x + − 2 2 1 31 02 4x x x − + = − + >   0x > 所以不等式 对 恒成立，可化为 对 恒 成立； 又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立； 即 的最小值为 ； 因此只需 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立求参数的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 三、解答题 17．(1)已知 ，求 的最大值； (2)已知 ， ，且 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) . 【解析】(1)根据基本不等式，结合题中条件，得到 ，即可得出结果； (2)根据题中条件，结合基本不等式，得到 ，即可得 出结果. 【详解】 (1)∵ ，∴ ， 因此 ； 当且仅当 ，即 ， 有最大值 ； (2)∵ ， ， ， 2 11 ax x x ≤− + 0x > 2 1 1 1 − +≤ = + −x xa xx x 0x > 1 11 2 1 1+ − ≥ ⋅ − =x xx x 1x x = 1x = 1 1x x + − 1 min 1 1 1 ≤ + − =  a x x ( ],1−∞ 0 1x< < (3 3 )= −y x x 0x > 0y > 5 7 20+ =x y xy 3 4 20 7 ( ) 21(3 3 ) 3 1 3 2 + − = − = − ≤ ⋅   x xy x x x x 21 1 5 75 735 35 2 + = ⋅ ⋅ ≤ ⋅   x yxy x y 0 1x< < 1 0x− > ( ) 21 3(3 3 ) 3 1 3 2 4 + − = − = − ≤ ⋅ =   x xy x x x x 1x x= − 1 2x = y 3 4 0x > 0y > 5 7 20+ =x y 所以 ； 当 ，即 ， 时， 有最大值 . 【点睛】 本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 18．（10 分） 已知 ， ，且 是 的必要 不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】 【解析】解：由 ，得 ， 或 ． 由 ，得 ． 或 是 的必要不充分条件， ． 19．等差数列 中 ， ， (1)求 的通项公式． (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) . (2) . 【解析】(1)先设等差数列的公差为 ，根据题中条件，得到 ， 求出首项与公差，即可得出通项公式； (2)先由(1)，得到 ，根据裂项相消的方法，即可求出结果. 【详解】 (1)设等差数列 的公差为 1: 2 1 23 xp −− ≤ − ≤ 2 2: 2 1 0( 0)q x x m m− + − ≤ > p¬ q¬ m 9m∴ ≥ 2 22 1 0x x m− + − ≤ 1 1m x m− ≤ ≤ + : { | 1q A x x m∴¬ = > + 1 , 0}x m m< − > 12 1 23 x −− ≤ − ≤ 2 10x− ≤ ≤ : { | 10p B x x∴¬ = > 2}x < − p¬ q¬ 0 1 2, 1 10 m A B m m > ∴ ⊆ ⇔ − ≤ −  + ≥ 9m∴ ≥ 21 1 5 7 100 205 735 35 2 35 7 + = ⋅ ⋅ ≤ ⋅ = =   x yxy x y 5 7 10= =x y 2x = 10 7 =y xy 20 7 { }na 7 4a = 19 92=a a { }na 1 n n b na = { }nb n nS 1 2n na += 2 1n nS n = + d ( )1 1 1 6 4 18 2 8 a d a d a d + =  + = + 1 2 ( 1) = = +n n b na n n { }na d ∵ ， ，∴ 解得： ， ， ∴ ； (2)∵ ， ∴ . 【点睛】 本题主要考查等差数列基本量的运算，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式，以 及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型. 20．设椭圆 过点(0,4)，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率 的直线被椭圆 C 所截线段的中点坐标． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）椭圆 C： + =1（a＞b＞0）过点（0，4），可求 b，利用离心率为 ， 求出 a，即可得到椭圆 C 的方程； （2）过点（3，0）且斜率为 的直线为 y= （x﹣3），代入椭圆 C 方程，整理，利用韦 达定理，确定线段的中点坐标． 【详解】 （1）将点（0，4）代入椭圆 C 的方程得 =1，∴b=4， 由 e= = ，得 1﹣ = ，∴a=5， ∴椭圆 C 的方程为 + =1． （2）过点（3，0）且斜率为 的直线为 y= （x﹣3）， 设直线与椭圆 C 的交点为 A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线方程 y= （x﹣3）代入椭圆 C 方程，整理得 x2﹣3x﹣8=0， 7 4a = 19 92=a a ( )1 1 1 6 4 18 2 8 a d a d a d + =  + = + 1 1a = 1 2d = ( ) 1 11 1 2 2 += + − ⋅ =n na n 1 2 1 12( 1) 1  = = = − + + n n b na n n n n 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1    = − + − +…+ − = − =   + + +   n nS n n n n ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + = > >： 3 5 C 4 5k = 2 2 125 16 x y+ = 3 6( , )2 5 − 由韦达定理得 x1+x2=3， y1+y2= （x1﹣3）+ （x2﹣3）= （x1+x2）﹣ =﹣ ． 由中点坐标公式 AB 中点横坐标为 ，纵坐标为﹣ ， ∴所截线段的中点坐标为（ ，﹣ ）． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 21．设函数 . (1)若对一切实数 x,f(x)＜0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 m∈[－2,2],不等式 f(x)＜－m＋5 恒成立,求 x 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】⑴分 和 两种情况讨论; ⑵不等式 f(x)＜－m＋5 可转化为 , 设 ， 则命题等价于当 时， 恒成立，从而转化为求 的最值问题.把关于 x 的不等式转化为关于 m 的不等式,体现了“主元”思想. 【详解】 （1）当 时， ，显然成立；当 时，应有 且 ，解得 .综上可知， . （2）由 可知， ，即 ，设 ，则命题等价于当 时， 恒成立， ， 在区间 上单调递增， ， 即 ， . 【点睛】 对于含参数的不等式问题，经常与函数和方程结合在一起来研究，善于将各分支知识融 会贯通是解决此类问题的最佳策略．同时要注意体会“主元”思想在等价转化中的作 用． 22．数列{ n}中 1＝3，已知点（ n， n+1）在直线 y＝x+2 上， （1）求数列{ n}的通项公式； ( ) 2f x mx mx 1= − − 4 0m− < ≤ 1 2x− < < 0m = 0m ≠ ( )2 1 6 0m x x− + − < ( ) ( )2 1 6g m m x x= − + − [ ]2,2m∈ − ( ) 0g m < ( ) ( )2 1 6,g m m x x= − + − [ ]2,2m∈ − 0m = ( ) 1f x = − 0m ≠ 0m < 2 4 0m m∆ = + < 4 0m− < < 4 0m− < ≤ ( ) 5f x m< − + 2 1 5mx mx m− − < − + ( )2 1 6 0m x x− + − < ( ) ( )2 1 6g m m x x= − + − [ ]2,2m∈ − ( ) 0g m < 2 1 0x x− + > ( )g m∴ [ ]2,2− ( ) ( )22 2 1 6 0g x x∴ = − + − < 2 2 0x x− − < 1 2x∴− < < a a a a a （2）若 bn＝ n•3n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）把点（ n， n+1）代入直线 y＝x+2 中可知数列{ n}是以 3 为首项，以 2 为公差的等差数，进而利用等差数列的通项公式求得答案． （2）把（1）中求得 n 代入 bn＝ n•3n，利用错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【详解】 （1）∵点（ n， n+1）在直线 y＝x+2 上．∴数列{ n}是以 3 为首项，以 2 为公差的等 差数列， ∴ n＝3+2（n﹣1）＝2n+1. （2）∵bn＝ n•3n，∴bn＝（2n+1）•3n ∴Tn＝3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n① ∴3Tn＝3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n+（2n+1）•3n+1② 由①﹣②得﹣2Tn＝3×3+2（32+33++3n）﹣（2n+1）•3n+1 ＝ ＝﹣2n•3n+1 ∴Tn＝n•3n+1． 【点睛】 本题主要考查了等差数列的性质和通项公式．当数列由等比和等差数列构成的时候，常 可用错位相减法求和，属于中档题． a 2 1na n= + 13n nT n += ⋅ a a a a a a a a a a ( )1 19 1 3 9 2 (2 1) 31 3 n nn − + − + × − + ⋅−