2015年高考真题——理科数学（四川卷）解析版

2015年高考真题——理科数学（四川卷）解析版

第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x    ，集合 { |1 3}B x x   ，则AB= （ ） ( ) { | 1 3}A x x   ( ) { | 1 1}B x x   ( ) { |1 2}C x x ( ) { | 2 3}D x x 【答案】A 【考点定位】集合的基本运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式， 函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 2.设 i 是虚数单位，则复数 3 2i i ( ) （A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i 【答案】C 【考点定位】复数的基本运算. 【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数 的基本概念及四则运算即可. 3.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是( ) （A） 3 2- （B） 3 2 （C）- 1 2 （D） 【答案】D 【考点定位】程序框图. 【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考 内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循 环的结果一一列举出来. 4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ） ( ) cos(2 )2A y x  ( ) sin(2 )2B y x  ( ) sin 2 cos2C y x x ( ) sin cosD y x x 【答案】A 【考点定位】三角函数的性质. 【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从 4 个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验， 但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而 B 选项中的函数 是偶函数，故均可排除，所以选 A. 5.过双曲线 2 2 13 yx 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 AB  （ ） (A) 43 3 (B) 23 (C)6 （D） 43 【答案】D 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线 22 221xy ab的渐近线方程为 22 220xy ab，将直线 2x  代入这个渐近线方程，便可得 交点 A、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值. 6.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（ ） （A）144 个 （B）120 个 （C）96 个 （D）72 个 【答案】B 【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位 与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 7.设四边形 ABCD 为平行四边形， 6AB  ， 4AD  .若点 M，N 满足 3BM MC ， 2DN NC ，则 AM NM（ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C[来源:Z|xx|k.Com] 【考点定位】平面向量. 【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量 多的已知元素.本题中，由于 ， 故可选 ,AB AD 作为基底. 8.设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“3 3 3ab”是“log 3 log 3ab ”的 （ ） （A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【考点定位】命题与逻辑. 【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否 成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考. 9.如果函数        21 2 8 1 0 02f x m x n x m n      ， 在区间 1 22   ， 上单调递减，则 mn 的最大值 为（ ） （A）16 （B）18 （C）25 （D） 81 2 【答案】B 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到 m、n 满足的条件，然后利用基 本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的 交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 10.设直线 l 与抛物线 2 4yx 相交于 A，B 两点，与圆   2 2250x y r r    相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ） （A） 13， （B） 14， （C） 23， （D） 24， 【答案】D 【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于 5 ，那么必有两条直线（即与 x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的 问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常 采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线 3x  上，由此可确定中点的纵坐标 0y 的范围， 利用这个范围即可得到 r 的取值范围. 第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11.在 5(2 1)x  的展开式中，含 2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】 40 . 【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解. 12.   75sin15sin . 【答案】 6 2 . 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后 再化为一个三角函数一般地，有 22sin cos sin( )a b a b       .第二种方法是直接凑为特殊角，利 用特殊角的三角函数值求解. 13.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： C ）满足函数关系 bkxey  （ 718.2e 为 自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 的保鲜时间设计 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小 时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.[来源:Zxxk.Com] 【答案】24 【考点定位】函数及其应用. 【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数 k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解 （不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化. 14.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分 别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为 . 【答案】 2 5 【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式. 【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要 注意，空间两直线所成的角是不超过 90 度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点 M 在 P 处时， EM 与 AF 所成角为直角，此时余弦值为 0（最小），当 M 点向左移动时，EM 与 AF 所成角逐渐变小，点 M 到达 Q 点时，角最小，从而余弦值最大. 15.已知函数 xxf 2)(  ， axxxg  2)( （其中 Ra ）.对于不相等的实数 21, xx ，设 21 21 )()( xx xfxfm   ， 21 21 )()( xx xgxgn   . 现有如下命题： （1）对于任意不相等的实数 ，都有 0m ； （2）对于任意的 a 及任意不相等的实数 ，都有 0n ；[来源:学科网] （3）对于任意的 a，存在不相等的实数 ，使得 nm  ； （4）对于任意的 a，存在不相等的实数 ，使得 nm  . 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】四川高考数学 15 题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的 关键是转化思想，通过转化使问题得以解决. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设数列{}na 的前 n 项和 12nnS a a，且 1 2 3, 1,a a a 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 1{} na 的前 n 项和 nT ，求得 1| 1| 1000nT  成立的 n 的最小值. 【答案】（1） 2n na  ；（ 2）10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查 运算求解能力. 【名师点睛】凡是有 nS 与 na 间的关系，都是考虑消去 或 （多数时候是消去 ，得 与 1na  间的递 推关系）.在本题中，得到 与 间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公 式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分. 17.某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐 3 名男生，2名女生，B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人， 女生中随机抽取 3 人组成代表队 （1）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 得分布列和 数学期望. 【答案】（1）A 中学至少 1 名学生入选的概率为 99 100p  . （2）X 的分布列为： p 1 5 3 5 1 5 321X X 的期望为 ( ) 2EX  . 【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队 的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的 两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题. 18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M ，GH 的中点为 N （1）请将字母 ,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线 //MN 平面 BDH （3）求二面角 A EG M的余弦值. 【答案】（1）点 F、G、H 的位置如图所示. （2）详见解析.（3） 22 3 M D C A B E F H G （2）连结 BD，设 O 为 BD 的中点. [来源:学§科§网] （另外，也可利用空间坐标系求解） 【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等 基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算. （1）注 意 ABCD 是底面，将平面展开图还原可得点 F、G、H 的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应 考虑证明 MN 平行于平面 BDH 内的一条直线.连结 O、M，易得 MNHO 是平行四边形，从而 //MN OH ， 进而证得 //MN 平面 BDH .（3）要作出二面角 A EG M的平面角，首先要过 M 作平面 AEGC 的垂线， 然后再过垂足作棱 EG 的垂线，再将垂足与点 M 连结，即可得二面角 的平面角. 19. 如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. （1）证明： 1 costan ;2 sin AA A  （2）若 180 , 6, 3, 4, 5,A C AB BC CD AD     o 求 tan tan tan tan2 2 2 2 A B C D   的值. 【答案】（1）详见解析；（2） 4 10 3 . 【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求 解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题第（1）小题为课本必修 4 第 142 页练习 1，体现了立足课本的要求.高考中常常将三角恒 等变换与解三角形结合起来考，本题即是如此.本题的关键体现在以下两点，一是利用角的关系消角，体现 了消元的思想；二是用余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想. 20.如图，椭圆 E： 22 22+ 1( 0)xy abab   的离心率是 2 2 ，过点 P（0,1）的动直线l 与椭圆相交于 A，B 两点，当直线 平行与 x 轴时，直线 被椭圆 E 截得的线段长为 22. (1)求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 QA PA QB PB 恒成立？若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 22 142 xy；（ 2）存在，Q 点的坐标为 (0,2)Q . 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步 骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系 解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的 关键是通过作 B 的对称点将问题转化. 21.已知函数 22( ) 2( )ln 2 2f x x a x x ax a a       ，其中 0a  . （1）设 ()gx是 ()fx的导函数，评论 的单调性； （2）证明：存在 (0,1)a ，使得 ( ) 0fx 在区间 (1,+ )内恒成立，且 ( ) 0fx 在 (1,+ )内有唯一解. 【答案】（1）当 10 4a时， ()gx在区间 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )22 aa     上单调递增， 在区间 1 1 4 1 1 4( , )22 aa    上单调递减；当 1 4a  时， 在区间 (0, ) 上单调递增.（2）详见解析. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在 0.3 以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生 掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所 以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的 一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出 ()fx的大致图 象，要使得 ( ) 0fx 在区间 (1,+ )内恒成立，且 ( ) 0fx 在 (1,+ )内有唯一解，则这个解 0x 应为极小 值点，且极小值为 0，当 0(1, )xx 时， 的图象递减；当 0( , )xx  时， ()fx的图象单调递增，顺 着这个思想，便可找到解决方法.