山西省大同市煤矿第四中学2020届高三下学期模拟考试（1）数学（文）

山西省大同市煤矿第四中学2020届高三下学期模拟考试（1）数学（文）

文科数学 本试卷共6 页 满分：150分 考试用时：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知圆，直线，若圆上总存在到直线的距离为的点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，天共织布尺，‎ 则该女子织布每天增加（ ）‎ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎5．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为，则制作该手工表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，，，，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎8．从某中学抽取名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间，频率 分布直方图如图所示，则对这名学生的阅读量判断正确的为（ ）‎ A．的值为 B．平均数约为 C．中位数大约为 D．众数约为 ‎9．已知椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，则取得最小值时的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数的图象在处的切线与直线垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中的值可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数为上的奇函数，且满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值分别为，，则 ．‎ ‎14．，，，的夹角为，则与的夹角为 ．‎ ‎15．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．‎ ‎16．已知点到直线的最大距离为，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在正项等比数列中，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．‎ ‎（1）请完成下面的列联表；‎ ‎（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；‎ ‎（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，证明：．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．（10分）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．‎ 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． 【答案】A ‎【解析】由，得，即，‎ 由，得，所以，所以．‎ ‎2． 【答案】A ‎【解析】由，得，所以在复平面内对应的点位于第一象限．‎ ‎3． 【答案】B ‎【解析】若圆上只有一点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为，故要使圆上总存在到直线的距离为的点，则圆心到直线的距离，即，即．‎ ‎4． 【答案】B ‎【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项，前项的和，求公差，‎ 由等差数列的前项公式可得，，解得．‎ ‎5． 【答案】B ‎【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以．‎ ‎6． 【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，‎ 且圆锥的底面半径为，高为，故母线长为，‎ 故每部分的表面积为，‎ 故两部分表面积为．‎ ‎7． 【答案】D ‎【解析】，‎ 所以，所以或，‎ 当时，由余弦定理可得，，‎ 同理，时，．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】由，解得，故A错；‎ 由A可知，，所以平均数为，故B错误；‎ 居民月用电量在的频率为，‎ 居民月用电量在的频率为：，‎ ‎∴这户居民月用电量的中位数大约为，故C正确；‎ 由频率分布直方图可知，众数大约为，故D错误．‎ ‎9． 【答案】C ‎【解析】由，得，当最小且最大时，取得最小值，‎ 所以，所以，所以离心率．‎ ‎10． 【答案】C ‎【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以=．‎ ‎11． 【答案】B ‎【解析】，则的图象在处的切线斜率，‎ 由于切线与直线垂直，则有，则，‎ 所以，所以，‎ 所以，由于输出的的值为，故总共循环了次，‎ 此时，故的值可以为．‎ ‎12． 【答案】C ‎【解析】由为上的奇函数，且，得，‎ 故函数的周期为，所以，所以．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，满足约束条件的可行域如下图，‎ 由，得；由，得，‎ 将目标函数化为，由图可知，当直线经过点时目标函数取得最小值，‎ 所以；‎ 当直线经过点时目标函数取得最大值，所以，‎ 所以有．‎ ‎14． 【答案】‎ ‎【解析】，所以，设与的夹角为，‎ 则，又因为，所以．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设外接圆的半径为，则，∴，‎ 设三棱锥外接球的半径为，则，‎ 故外接球的表面积．‎ ‎16．【答案】或 ‎【解析】点到直线的距离，‎ 当时，，所以；‎ 当时，，所以．‎ 综上，或．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在正项等比数列中，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设公比为，则由题意可知：，‎ 又，所以，所以=．‎ ‎（2），∴‎ ‎．‎ ‎18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．‎ ‎（1）请完成下面的列联表；‎ ‎（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；‎ ‎（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）依题意可得列联表：‎ ‎（2），‎ ‎∴的把握认为选择全理与性别有关．‎ ‎（3）设名男生分别为，，，两名女生分别为，．‎ 从名学生中抽取名所有的可能为，，，共种，‎ 不包含女生的基本事件有，共种，故所求概率．‎ ‎19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵平面，平面，∴，‎ ‎∵，是的中点，∴，‎ 又，∴平面．‎ ‎（2）∵，平面，∴平面，‎ ‎∴，∴．‎ 同理在中，，在梯形中，易得．‎ 所以等腰底边上的高为，所以，‎ 又，∵，平面，∴平面，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎∵，∴．‎ 设点到平面的距离为，则由，得，‎ 所以．‎ ‎∵点为的中点，∴点到平面的距离为．‎ ‎20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的 坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1），当直线的斜率为时，其方程为，‎ 设，，由，得，‎ 把代入抛物线方程得，‎ 所以，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）可知，抛物线，，由题意可知，直线的斜率存在，‎ 设其方程为，将其代入抛物线方程为，‎ 则，，‎ 假设在轴上存在一点满足，‎ 则，即，即，‎ 所以，即，‎ 由于，所以，即，即在轴上存在点满足．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】由，可得，‎ ‎∵函数有唯一极值点，∴，即恒成立，‎ 设，则，‎ 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，‎ 所以，所以，即实数的取值范围是．‎ ‎（2），∵，是函数的两个零点，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴．‎ 要证，即证．‎ 设，则等价于，‎ 即证，‎ 令，且，即证，则，‎ 则,令，则，‎ 故在上单调递增，故，‎ 所以函数在上单调递增，所以．‎ 即对任意恒成立，所以．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，即．‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，，‎ 所以，‎ 所以，即的最大值为．‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23．（10分）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；‎ 当时，原不等式可化为，从而；‎ 当时，原不等式可化为，从而．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由得，又，‎ 所以，即，解得，所以的取值范围为．‎