贵州省贵阳市第三十八中学2019-2020学年高三上学期模拟考试数学（理）试卷

贵州省贵阳市第三十八中学2019-2020学年高三上学期模拟考试数学（理）试卷

理科数学 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 4． 已知命题；命题．‎ 则下列命题中是真命题的为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎5．如图所示，线段是正方形的一条对角线，现以为一条边，作正方形BEFD，记正方形与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某几何体的顶点满足，‎ 则下列图形中，该几何体的三视图不可能为（ ）‎ ‎7．运行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ 8． 已知等腰梯形中，，若 ‎，则的最小值为（ ）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎9．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）‎ A．66立方尺 B．78立方尺 C．84立方尺 D．92立方尺 ‎10．已知函数在上仅有1个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且（表示直线的斜率），则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上的所有实数根之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）‎ ‎13．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且双曲线的焦距为8，则双曲线的方程为 ．‎ ‎14．二项式的展开式中，含的项的系数为 ．‎ ‎15．已知实数满足，则的取值范围为 ．‎ ‎16．已知数列满足，且．等比数列的通项公式为．若数列的满足，则数列的前项和为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知中，,，．‎ ‎（1）证明：为等边三角形；‎ ‎（2）若的面积为，求的正弦值．‎ ‎18．（12分）共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：‎ ‎ ‎ ‎（1）请计算这21位居民问卷的平均得分；‎ ‎（2）若成绩在80分以上问卷中从中任取3份，求这3份试卷的成绩都在85以上（含85分）的概率；‎ ‎（3）从成绩在90分以上（含90分）的居民中挑选4人参加深入探讨，记抽取的4个居民中成绩为99分的人数为，求的分布列与期望．‎ ‎19．（12分）已知四棱锥中，，，平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，且，直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为直线与的交点，若是一个与k无关的常数，过点且与直线垂直的直线交椭圆于两点，求四边形的面积的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，‎ 求实数的取值范围．‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率．‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记的最小值为，若正实数满足，求的最小值．‎ 选题题号（请在所选的题号后√）：22□ 23□‎ 选考题答题区：‎ 答案 ‎1．答案：A 解析：依题意，，故，‎ 即，故选A．‎ ‎2．答案：B 解析：依题意，，，故，故选B．‎ ‎3．答案：D 解析：依题意，，故，故，故，故选D．‎ ‎4．答案：C 解析：取，可知，故命题为真；因为，当且仅当时等号成立，故命题为真；故为真，故选C．‎ ‎5．答案：B 解析：依题意，不妨设，故五边形ABEFD的面积，阴影的面积为，故所求概率为，故选B．‎ ‎6．答案：D 解析：在正方体模型中作出该几何体的直观图如下所示，可知A，B，C分别是正视图、侧视图以及俯视图，观察可知，故选D．‎ ‎7．答案：C 解析：运行该程序，第一次是，，第二次是，，第三次是，，第四次是，，第五次是，，第六次，否，跳出循环，输出a＝1．故选C．‎ ‎8．答案：C 解析：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易求，∠DAB＝60°，‎ 则，因为，所以，则 ‎，故选C．‎ ‎9．答案：C 解析：如图，在上取,使得，连接，故多面体的体积 ‎，故选C．‎ ‎10．答案：C 解析：依题意，，故，解得，且，故，故，故选C．‎ ‎11．答案：C 解析：依题意，抛物线；因为，故直线与x轴正半轴所成角为120°，故为等边三角形，则，则的面积为，故选C．‎ ‎12．答案：C 解析：因为，故，故函数的一个对称轴为；且，故函数的周期为8，作出函数的图像如下所示；联立解得，故，由周期性可得所有实数根之和为，故选C．‎ ‎13．答案：或 解析：依题意，设双曲线的方程为，故，则或；解得或，故双曲线的方程为或．‎ ‎14．答案：‎ 解析：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为．‎ ‎15．答案：‎ 解析：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，表示平面区域内的点与点之间连线的斜率，观察可知 ‎16．答案：‎ 解析：依题意，，故，故，故．故数列是以3为首项，3为公差的等差数列；故，故，令，故数列的前项和为，而数列的前项和为，由分组求和法可知，数列的前项和为．‎ ‎17．解析：‎ ‎（1）在中，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，解得．‎ 又，所以是等边三角形．（6分）‎ ‎（2）因为，且，t所以，‎ 故，解得，‎ 在中，，所以．‎ 在中，由正弦定理得, ‎ 所以．（12分）‎ ‎18．解析：‎ ‎（1）依题意，所求平均得分为 ‎．（4分）‎ （2） 设事件：80分以上问卷中任取3份，成绩都在85以上，则所求概率 ‎．（7分）‎ ‎（3）依题意，的可能取值为；故，，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故．（12分）‎ ‎19．解析：‎ ‎（1）因为，所以，‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ 所以CE⊥平面，而平面，故．（4分）‎ （2） 取BE的中点，因为，故，‎ 因为平面平面，平面平面，故平面．‎ 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 不妨设，则,.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，可得，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，可得，‎ ‎，观察图形知二面角为钝二面角，‎ 则二面角的余弦值．（12分）‎ ‎20．解析：‎ ‎（1）联立解得，故，又，‎ ‎，联立三式，解得，‎ 故椭圆的方程为．（4分）‎ ‎（2）联立，解得；设，‎ 联立方程组消去得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又是一个与k无关的常数，，即，‎ ‎；，，适合，‎ 同理，‎ 故，‎ 当且仅当时等号成立，故四边形的面积的最小值为．（12分）‎ ‎21．解析：‎ ‎（1），令，得，故，‎ 故，解得．令f ′(x)＞0得，令f ′(x)＜0得，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（4分）‎ ‎（2）令，‎ ‎；令，则，‎ ‎（ⅰ）当时，因为当时，,，所以，‎ 所以即在上单调递增．‎ 又因为，所以当时，，从而在上单调递增，‎ 而，所以，即成立；‎ ‎（ⅱ）当时，可得在上单调递增．‎ 因为，，‎ 所以存在，使得，且当时，，‎ 所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，‎ 所以当时，，即不成立；‎ 综上所述，的取值范围是．（12分）‎ ‎22．解析：‎ ‎（1）依题意，直线，可知直线是过原点的直线，‎ 故其极坐标方程为；曲线，‎ 故曲线的直角坐标方程为．（5分）‎ ‎（2）依题意，直线的极坐标方程为；‎ 设对应的极径分别为，将代入曲线的极坐标可得 ‎；故，‎ 故，故，则，‎ ‎，故直线的斜率为．（10分）‎ ‎23．解析：‎ ‎（1）依题意，，‎ 当时，，解得，‎ 当时，，故；‎ 当时，，故；‎ 综上，所求不等式的解集为{x|}．（5分）‎ ‎（2）依题意，，故，‎ 故 当且仅当时等号成立，故的最小值为．（10分）‎