广东省台山市华侨中学2020届高三10月模考数学（文）试题

广东省台山市华侨中学2020届高三10月模考数学（文）试题

台山侨中2020届高三级10月模考文科数学试题 一：选择题。‎ ‎1.已知向量,若与共线,则实数(  )‎ A. B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标表示得出,解出即可．‎ ‎【详解】解：,,解得．故选A．‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标表示，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2.设i为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项.‎ ‎【详解】解：复数是纯虚数,则或,‎ 所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；‎ 当时,复数为,是纯虚数,“复数是纯虚数”是“”的必要条件,‎ 所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念,属于基础题,直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．‎ ‎3.设集合,集合,则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合和,根据补集与交集的定义写出即可．‎ ‎【详解】集合,集合,则,．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目．‎ ‎4.已知向量与向量满足,,,则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角为,由条件利用向量模的运算列式,求得的值,可得的值．‎ ‎【详解】解：设与的夹角为,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 即,‎ 求得,,‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查用向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题．‎ ‎5.一个半径为的扇形的面积为,则这个扇形的中心角的弧度数为（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可．‎ ‎【详解】设这个扇形的中心角的弧度数为，‎ 因为扇形的半径为，面积为，‎ 所以，解得．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，属于基础题．扇形的面积公式为：（1）；（2）.‎ ‎6.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用。‎ ‎7.已知数列满足递推关系：,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列是首项为,公差为的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可．‎ ‎【详解】解：,‎ 又,数列是首项为,公差为的等差数列,即 ‎,‎ 即.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系,等差数列的概念和等差数列的通项公式,属于基础题．‎ ‎8.若 且，则的终边在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由 且，知为二象限角，即.‎ 则，‎ 当为偶数时，的终边在第一象限；‎ 当为奇数时，的终边在第三象限.‎ 故选C.‎ ‎9.函数的部分图像如图所示，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 三角函数图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．‎ ‎10.已知函数在处有极值10，则等于( )‎ A. 1 B. 2 C. —2 D. —1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数 在处有极值为10，‎ ‎，解得．‎ 经检验知，符合题意．‎ ‎，‎ ‎．选B．‎ 点睛：‎ 由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点求参数的值时，根据求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．‎ ‎11.在等差数列中，，其前项和为，若，则＝(　　)‎ A. 2018 B. －2018 C. 4036 D. －4036‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明是等差数列，由此求得数列的首项和公差，由此求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的前项和为，则，‎ 所以是等差数列．因为，‎ 所以的公差为，又，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，所以.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎12.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，，∴，，‎ ‎，∴.‎ ‎【考点】向量数量积 ‎【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.‎ ‎ 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ 二、填空题。‎ ‎13.向量在向量方向上的投影为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据投影的定义,应用公式在方向上的投影为求解．‎ ‎【详解】解：根据投影的定义可得：‎ 在方向上的投影为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用，解答关键在于要求熟练应用公式．‎ ‎14.函数的单调递减区间是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，在上解不等式可得单调减区间．‎ ‎【详解】，其中，‎ 令，则，故函数的单调减区间为，填．‎ ‎【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在 上为单调减函数；反之，若在区间上可导且为减函数，则．注意求单调区间前先确定函数的定义域．‎ ‎15.已知向量， ，其中，若，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.‎ ‎【详解】向量，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，又，故答案为4.‎ ‎【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎16.，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．‎ ‎【答案】2020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.‎ ‎【详解】解：由题意可知，‎ 令S=‎ 则S=‎ 两式相加得，‎ ‎．‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律．‎ 三:解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知向量,,‎ ‎(1)若,求的值 ‎(2)若,求的值；‎ ‎【答案】（1）；（2）-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两个向量垂直的坐标运算列式，化简后求得的值.（2）根据两个向量共线的知识列方程，求得的值，然后将所求表达式转化为只含的式子，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】解：（1）由得, ，.‎ ‎（2）由得,,.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是向量的数量积及坐标运算,三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系等．‎ ‎18.已知数列的前n项和为,,．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设的前项和为,求证．‎ ‎【答案】（1）．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．‎ ‎【详解】解：（1）,‎ 当时,, ‎ 又满足上式,‎ ‎． ‎ ‎（2）证明：,‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎,,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．‎ ‎19.已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．‎ ‎(1)设与相交于两点，求；‎ ‎(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.‎ ‎【详解】（1）的普通方程为，的普通方程为，‎ 联立方程组，解得交点为,‎ 所以=； ‎ ‎（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，‎ 则到直线的距离.‎ 当时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.‎ ‎20. 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因为，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎21.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点,N是CE的中点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：平面ADE；‎ ‎(3)求点A到平面BCE的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出,从而平面,由此能证明；（2）取的中点,连接,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面；（3）设点到平面的距离为,由,能求出点到平面的距离．‎ ‎【详解】证明：（1）,M是AB的中点,‎ ‎,‎ 平面平面ABCD,,平面平面,平面ABE,‎ 平面ABCD,,‎ 平面ABCD,‎ ‎； ‎ ‎（2）取DE的中点F,连接AF,NF,‎ 是CE的中点,‎ ‎,‎ 是AB中点,‎ ‎,‎ ‎,‎ 四边形AMNF是平行四边形,‎ ‎,‎ 平面ADE,平面ADE,‎ 平面ADE； ‎ ‎（3）设点到平面BCE的距离为,‎ 由（1）知平面ABC,,,‎ 则,,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 即,‎ 解得,故点A到平面BCE的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查数形结合思想,是中档题．‎ ‎22.已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎2若与相交于两点，设点，求值．‎ ‎【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而 ，代入根与系数的关系得到结果.‎ 试题解析：（I）（为参数） ，‎ 所以曲线的普通方程为. ‎ ‎，‎ 所以的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，‎ 将的参数方程代入的直角坐标方程，‎ 化简整理得，，所以， ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，， ，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.‎ ‎23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.‎ ‎【详解】（1） ‎ 当且仅当时取等号 ‎，即：‎ ‎（2），当且仅当时取等号 又，，（当且仅当时等号同时成立）‎ 又 ‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.‎ ‎ ‎