2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)

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文档介绍

2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)

‎2015年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}‎ ‎2.(5分)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  )‎ A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(  )‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ ‎5.(5分)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=(  )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(  )‎ A.2 B.8 C.4 D.10‎ ‎8.(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎9.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎10.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎12.(5分)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=  .‎ ‎14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为  .‎ ‎15.(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=  .‎ ‎16.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=﹣1,an+1=Sn+1Sn,则Sn=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分60分)‎ ‎17.(12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎18.(12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:‎ A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);‎ ‎(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求C的概率.‎ ‎19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.‎ ‎(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;‎ ‎(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.‎ ‎ ‎ 四、选做题.选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎ ‎ ‎2015年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)(2015•新课标Ⅱ)已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|(x﹣1)(x+2)<0},则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0} B.{0,1} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}‎ ‎【分析】解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可.‎ ‎【解答】解:B={x|﹣2<x<1},A={﹣2,﹣1,0,1,2};‎ ‎∴A∩B={﹣1,0}.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•新课标Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之.‎ ‎【解答】解:因为(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,所以4a+(a2﹣4)i=﹣4i,‎ ‎4a=0,并且a2﹣4=﹣4,‎ 所以a=0;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•新课标Ⅱ)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  )‎ A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;‎ B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;‎ C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.‎ ‎【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;‎ B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;‎ C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.‎ 故选:D ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•新课标Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(  )‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ ‎【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5‎ ‎=21,利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求.‎ ‎【解答】解:∵a1=3,a1+a3+a5=21,‎ ‎∴,‎ ‎∴q4+q2+1=7,‎ ‎∴q4+q2﹣6=0,‎ ‎∴q2=2,‎ ‎∴a3+a5+a7==3×(2+4+8)=42.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•新课标Ⅱ)设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=(  )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎【分析】先求f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=,‎ 即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,‎ f(log212)==12×=6,‎ 则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•新课标Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,‎ ‎∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,‎ ‎∴剩余部分体积为1﹣=,‎ ‎∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•新课标Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,﹣7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(  )‎ A.2 B.8 C.4 D.10‎ ‎【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出D,E,F,令x=0,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,‎ ‎∴D=﹣2,E=4,F=﹣20,‎ ‎∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0,‎ 令x=0,可得y2+4y﹣20=0,‎ ‎∴y=﹣2±2,‎ ‎∴|MN|=4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•新课标Ⅱ)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由a=14,b=18,a<b,‎ 则b变为18﹣14=4,‎ 由a>b,则a变为14﹣4=10,‎ 由a>b,则a变为10﹣4=6,‎ 由a>b,则a变为6﹣4=2,‎ 由a<b,则b变为4﹣2=2,‎ 由a=b=2,‎ 则输出的a=2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•新课标Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.‎ ‎【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•新课标Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可.‎ ‎【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,‎ 此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,‎ 当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,‎ 如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,‎ ‎∴OQ=﹣,‎ ‎∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,‎ ‎∴PA+PB=,‎ 当x=时,PA+PB=2,‎ 当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,‎ 由对称性可知函数f(x)关于x=对称,‎ 且f()>f(),且轨迹为非线型,‎ 排除A,C,D,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2015•新课标Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上,由题意可得M的坐标为(﹣2a,a),代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:设M在双曲线﹣=1的左支上,‎ 且MA=AB=2a,∠MAB=120°,‎ 则M的坐标为(﹣2a,a),‎ 代入双曲线方程可得,‎ ‎﹣=1,‎ 可得a=b,‎ c==a,‎ 即有e==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•新课标Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ ‎【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞‎ ‎)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x•g(x)>0,数形结合解不等式组即可.‎ ‎【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,‎ ‎∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,‎ 即当x>0时,g′(x)恒小于0,‎ ‎∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,‎ 又∵g(﹣x)====g(x),‎ ‎∴函数g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)==0,‎ ‎∴函数g(x)的图象性质类似如图:‎ 数形结合可得,不等式f(x)>0⇔x•g(x)>0‎ ‎⇔或,‎ ‎⇔0<x<1或x<﹣1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)(2015•新课标Ⅱ)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=  .‎ ‎【分析】利用向量平行即共线的条件,得到向量λ+与+2之间的关系,利用向量相等解答.‎ ‎【解答】解:因为向量,不平行,向量λ+与+2平行,所以λ+=μ(+2),‎ 所以,解得;‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2016•新课标Ⅲ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为  .‎ ‎【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值.‎ ‎【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,‎ 由得D(1,),‎ 所以z=x+y的最大值为1+;‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2015•新课标Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= 3 .‎ ‎【分析】给展开式中的x分别赋值1,﹣1,可得两个等式,两式相减,再除以2得到答案.‎ ‎【解答】解:设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,‎ 令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1),①‎ 令x=﹣1,则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f(﹣1)=0.②‎ ‎①﹣②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),‎ 所以2×32=16(a+1),‎ 所以a=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2015•新课标Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=﹣1,an+1=Sn+1Sn,则Sn= ﹣ .‎ ‎【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn可知﹣=1,进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列,计算即得结论.‎ ‎【解答】解:∵an+1=Sn+1Sn,‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn,‎ ‎∴﹣=1,‎ 又∵a1=﹣1,即=﹣1,‎ ‎∴数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列,‎ ‎∴=﹣n,‎ ‎∴Sn=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分60分)‎ ‎17.(12分)(2015•新课标Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎【分析】(1)如图,过A作AE⊥BC于E,由已知及面积公式可得BD=2DC,由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=,sin∠C=,从而得解.‎ ‎(2)由(1)可求BD=.过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,由AD平分∠BAC,可求AB=2AC,令AC=x,则AB=2x,利用余弦定理即可解得BD和AC的长.‎ ‎【解答】解:(1)如图,过A作AE⊥BC于E,‎ ‎∵==2‎ ‎∴BD=2DC,‎ ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中,=,∴sin∠B=‎ 在△ADC中,=,∴sin∠C=;‎ ‎∴==.…6分 ‎(2)由(1)知,BD=2DC=2×=.‎ 过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴DM=DN,‎ ‎∴==2,‎ ‎∴AB=2AC,‎ 令AC=x,则AB=2x,‎ ‎∵∠BAD=∠DAC,‎ ‎∴cos∠BAD=cos∠DAC,‎ ‎∴由余弦定理可得:=,‎ ‎∴x=1,‎ ‎∴AC=1,‎ ‎∴BD的长为,AC的长为1.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2015•新课标Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:‎ A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);‎ ‎(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求C的概率.‎ ‎【分析】(1)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可;‎ ‎(2)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散;‎ ‎(2)记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”,‎ 记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”,‎ 记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”,‎ 记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”,‎ 则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,‎ 则C=CA1CB1∪CA2CB2,‎ P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2),‎ 由所给的数据CA1,CA2,CB1,CB2,发生的频率为,,,,‎ 所以P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=,‎ 所以P(C)=×+×=0.48.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2015•新课标Ⅱ)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.‎ ‎【分析】(1)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;‎ ‎(2)分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A,H,E,F几点的坐标.设平面EFGH的法向量为,根据即可求出法向量,坐标可以求出,可设直线AF与平面EFGH所成角为θ,由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值.‎ ‎【解答】解:(1)交线围成的正方形EFGH如图:‎ ‎(2)作EM⊥AB,垂足为M,则:‎ EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;‎ ‎∴,∴AH=10;‎ 以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:‎ A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8);‎ ‎∴;‎ 设为平面EFGH的法向量,则:‎ ‎,取z=3,则;‎ 若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ,则:‎ sinθ==;‎ ‎∴直线AF与平面α所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2015•新课标Ⅱ)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.‎ ‎【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论.‎ ‎(2)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,建立方程关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),‎ 将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,‎ 则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,‎ 则x1+x2=,则xM==,yM=kxM+b=,‎ 于是直线OM的斜率kOM==,‎ 即kOM•k=﹣9,‎ ‎∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎(2)四边形OAPB能为平行四边形.‎ ‎∵直线l过点(,m),‎ ‎∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,‎ 即k2m2>9b2﹣9m2,‎ ‎∵b=m﹣m,‎ ‎∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,‎ 即k2>k2﹣6k,‎ 即6k>0,‎ 则k>0,‎ ‎∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,‎ 由(1)知OM的方程为y=x,‎ 设P的横坐标为xP,‎ 由得,即xP=,‎ 将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,‎ 即l的方程为y=kx+,‎ 将y=x,代入y=kx+,‎ 得kx+=x 解得xM=,‎ 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,‎ 于是=2×,‎ 解得k1=4﹣或k2=4+,‎ ‎∵ki>0,ki≠3,i=1,2,‎ ‎∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2015•新课标Ⅱ)设函数f(x)=emx+x2﹣mx.‎ ‎(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;‎ ‎(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.‎ ‎【分析】(1)利用f′(x)≥0说明函数为增函数,利用f′(x)≤0说明函数为减函数.注意参数m的讨论;‎ ‎(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转化为最大值和最小值问题.从而求得m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)证明:f′(x)=m(emx﹣1)+2x.‎ 若m≥0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1≤0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx﹣1≥0,f′(x)>0.‎ 若m<0,则当x∈(﹣∞,0)时,emx﹣1>0,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx﹣1<0,f′(x)>0.‎ 所以,f(x)在(﹣∞,0)时单调递减,在(0,+∞)单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[﹣1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.‎ 所以对于任意x1,x2∈[﹣1,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1的充要条件是 即 设函数g(t)=et﹣t﹣e+1,则g′(t)=et﹣1.‎ 当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.‎ 又g(1)=0,g(﹣1)=e﹣1+2﹣e<0,故当t∈[﹣1,1]时,g(t)≤0.‎ 当m∈[﹣1,1]时,g(m)≤0,g(﹣m)≤0,即合式成立;‎ 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em﹣m>e﹣1.‎ 当m<﹣1时,g(﹣m)>0,即e﹣m+m>e﹣1.‎ 综上,m的取值范围是[﹣1,1]‎ ‎ ‎ 四、选做题.选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)(2015•新课标Ⅱ)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.‎ ‎【分析】(1)通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F,利用相似的性质即得结论;‎ ‎(2)通过(1)知AD是EF的垂直平分线,连结OE、OM,则OE⊥AE,利用S△ABC﹣S△AEF计算即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,‎ ‎∴AD是∠CAB的角平分线,‎ 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F,‎ ‎∴AE=AF,∴AD⊥EF,‎ ‎∴EF∥BC;‎ ‎(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,∴AD是EF的垂直平分线,‎ 又∵EF为圆O的弦,∴O在AD上,‎ 连结OE、OM,则OE⊥AE,‎ 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE,‎ ‎∴∠OAE=30°,∴△ABC与△AEF都是等边三角形,‎ ‎∵AE=2,∴AO=4,OE=2,‎ ‎∵OM=OE=2,DM=MN=,∴OD=1,‎ ‎∴AD=5,AB=,‎ ‎∴四边形EBCF的面积为×﹣××=.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.(2015•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.‎ ‎(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,‎ ‎∴x2+y2=2y.‎ 同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,‎ 联立,‎ 解得,,‎ ‎∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.‎ ‎(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),‎ ‎∵A,B都在C1上,‎ ‎∴A(2sinα,α),B.‎ ‎∴|AB|==4,‎ 当时,|AB|取得最大值4.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,即可得证;‎ ‎(2)从两方面证,①若+>+,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得+>+,注意运用不等式的性质,即可得证.‎ ‎【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,‎ ‎(+)2=c+d+2,‎ 由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,‎ 则>,‎ 即有(+)2>(+)2,‎ 则+>+;‎ ‎(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,‎ 即为a+b+2>c+d+2,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,‎ ‎(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,‎ 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;‎ ‎②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,‎ 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 则有(+)2>(+)2.‎ 综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wkl197822;changq;依依;吕静;双曲线;刘长柏;maths;cst;w3239003;whgcn;雪狼王;沂蒙松(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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