【数学】2018届一轮复习人教A版8-2空间几何体的表面积与体积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版8-2空间几何体的表面积与体积学案

第02节 空间几何体的表面积与体积 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间几何体的表面积与体积 会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.‎ ‎2013•浙江文5；理12;‎ ‎2014•浙江文3；理3；‎ ‎2015•浙江文2 ；理2；; ‎ ‎2016•浙江文9；理11,14;‎ ‎2017•浙江3.‎ ‎1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.‎ ‎2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；‎ ‎(2)掌握等积转换的方法.‎ ‎【知识清单】‎ 1． 几何体的表面积 圆柱的侧面积 ‎ 圆柱的表面积 ‎ 圆锥的侧面积 ‎ 圆锥的表面积 ‎ 圆台的侧面积 ‎ 圆台的表面积 ‎ 球体的表面积 ‎ 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.‎ 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.‎ 对点练习：‎ ‎【浙江省金华十校联考】在正三棱锥中， 是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为__________，其外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】， ‎ ‎2.几何体的体积 圆柱的体积 ‎ 圆锥的体积 ‎ 圆台的体积 ‎ 球体的体积 ‎ 正方体的体积 ‎ 正方体的体积 ‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 几何体的表面积 ‎【1-1】【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得四点共圆，设圆心为O，则半径为， O到直线DE距离为 ‎ 因为 ,所以O为外接球的球心，半径为，因此外接球的表面积为 ‎ ‎【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【1-2】三棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，是的中心，是外接球球心，则平面，，由已知，则，所以．故选C．‎ ‎【1-3】【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长 为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【领悟技法】‎ 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2018届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边， 平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：‎ 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形， 平面， 长方体的对角线长为， 三棱锥的外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积为，故选A. ‎ ‎【变式2】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【变式3】已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥外接球表面积等于(　　)‎ A．8π　 B．16π C．48π　 D．50π ‎【答案】‎ 综合点评：‎ 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.‎ 考点2 几何体的体积 ‎【2-1】【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【2-2】【2017山东，文13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2017届广东省广州高三一模】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【变式2】【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积是__________ ；几何体的体积是__________ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据三视图可知几何体是组合体：后面是直三棱柱、前面是半个圆柱，‎ 且圆柱的底面圆半径是2，母线长是2，‎ 三棱柱的底面是直角三角形：直角边分别是4、3，斜边是5，三棱柱的高是2，‎ ‎∴该几何体的表面积，‎ 该几何体的体积.‎ 综合点评：求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利 用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.‎ 考点3 几何体的展开、折叠、切、截问题 ‎【3-1】【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【3-2】【2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，‎ ‎【3-3】【2018届福建省数学基地校】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得.∴正三棱柱的高.设其底面边长为，‎ 则.∴.∴,选D.‎ ‎【3-4】【2018届河南省林州市第一中学高三8月调研】如图，已知矩形中， ，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【领悟技法】‎ ‎ 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．‎ 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．‎ 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） ‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4 ‎ ‎【答案】B ‎【变式2】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.‎ ‎【变式3】【2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2，∴球O的半径为，‎ ‎∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ， ‎ ‎ ‎ 得到 内切球的体积为 ，故结果为.‎ ‎【变式4】【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为‎5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：有一棱长为的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.‎ 错解：依题意，球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为，球的表面积为.‎ 错因：这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为. ‎ 正解：正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为. ‎ 所以气球表面积的最大值为.‎ 温馨提醒：‎ ‎1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.‎ ‎2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.‎ ‎3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.‎ ‎4.对于求解简单的组合体的表面积，要注意各几何体重叠部分的处理.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答几何体体积、表面积计算问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：‎ ‎【典例】已知中，，将沿折起，使 变到，使平面平面．‎ ‎（1）试在线段上确定一点，使平面；‎ ‎（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积．‎ ‎【答案】（1）点为的靠近点的三等分点（2）‎ 试题解析：（1）‎ ‎∵，‎ ‎∴，在上取点，使，连接，再在上取点，使，连接，可知，，且，可知，且，所以四边形为平行四边形，平面，∴平面，故点为的靠近点的三等分点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）可知，，‎ 设三棱锥的外接球半径为，可知，，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 三棱锥的表面积为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分