2020届二轮复习选修4-42课件（48张）（全国通用）

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【 知识梳理 】 1. 曲线的参数方程 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ________ 并且对于 t 的每一个允许 值 , 由这个方程组所确定的点 M(x,y) 都在这条曲线上 , 那 么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数 x,y 的变数 t 叫做 _______, 简称 _____. 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程 F(x,y)=0 叫做 _____ 方程 . 参变数 参数 普通 2. 参数方程和普通方程的互化 (1) 参数方程化普通方程 : 利用两个方程相加、减、 乘、除或者代入法消去参数 . (2) 普通方程化参数方程 : 如果 x=f(t), 把它代入普通方 程 , 求出另一个变数与参数的关系 y=g(t), 则得曲线的 参数方程 3. 直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y-y 0 =tan α(x-x 0 ) ____________ (t 为参数 ) 轨迹 普通方程 参数方程 圆 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ____________ (θ 为参数 ) 椭圆 =1(a>b>0) ____________ ( φ 为参数 ) 【 常用结论 】 1. 参数方程化普通方程 (1) 常用方法 : 代入消元 , 加减消元 , 平方后加减消元 ; (2) 常用公式 :sin 2 α +cos 2 α =1, 1+tan 2 α= . 2. 直线的参数方程及参数的几何意义 (1) 过定点 P 0 (x 0 ,y 0 ), 倾斜角为 α 的直线参数方程的标 准形式为 (t 为参数 ). (2)t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P 0 (x 0 ,y 0 ) 的数量 , 即 |t|=|PP 0 | 时为距离 . (3) 直线上任意两点 P 1 ,P 2 对应的参数分别为 t 1 ,t 2 , 则 |P 1 P 2 |=|t 1 -t 2 |,P 1 P 2 的中点对应的参数为 (t 1 +t 2 ). 考点一　参数方程与普通方程的互化 【 题组练透 】 将下列参数方程化为普通方程 (1) (0≤t≤5) (2) (t 为参数 ) (3) (a,b 为大于零的常数 ,t 为参数 ) (4) (t 为参数 ,0≤t≤π) 【 解析 】 (1) 消去 t 2 得 x=3(y+1)+2, 即 x-3y-5=0, 由于 x=3t 2 +2∈[2,77], 所以化为普通方程为 x-3y-5=0(2≤x≤77). (2) 从 x= 中解得 t 2 = , 代入 y= 中 , 整理得到 2x+y-5=0. 但由 t 2 = ≥0, 解得 0≤x<3, 所以化为普通方程为 2x+y-5=0(0≤x<3). (3) 因为 x= , 所以 t>0 时 ,x∈[a,+∞);t<0 时 ,x∈(-∞,-a]. 由 x= 两边平方可得 x 2 = ,① 由 y= 两边平方可得 y 2 = , ② ①×b 2 -②×a 2 并化简 , 得 =1(a>0,b>0). (4) 因为 0≤t≤π,-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1, 所以 -3≤x≤5,-2≤y≤2, (x-1) 2 +(y+2) 2 =16cos 2 t+16sin 2 t=16. 所以 (x-1) 2 +(y+2) 2 =16(-3≤x≤5,-2≤y≤2). 【 规律方法 】 消去参数的三种方法 (1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式 , 然后代入消去参数 . (2) 利用三角恒等式消去参数 . (3) 根据参数方程本身的结构特征 , 灵活地选用一些方法从整体上消去参数 . 考点二　参数方程的应用 【 典例 】 在直角坐标系中 , 曲线 C 的参数方程为 ( φ 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ), 点 P(0, ). (1) 求曲线 C 的普通方程 . 世纪金榜导学号 (2) 设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A,B, 求 |PA|+|PB| 的值 . 【 解析 】 (1) 消去参数 φ 得曲线 C 的普通方程为 =1. (2) 点 P(0, ) 在直线 l 上 , 将直线的参数方程代入曲线 C 的普通方程得 :t 2 +2t-8=0, 设其两个根为 t 1 ,t 2 , 所以 t 1 + t 2 =-2,t 1 t 2 =-8, 由参数 t 的几何意义知 : |PA|+|PB|=|t 1 -t 2 |= =6. 【 规律方法 】 1. 应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几何意义时 , 要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值 , 否则参数不具备该几何含义 . 2. 圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题 , 通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解 . 【 对点训练 】 在平面直角坐标系 xOy 中 . 已知直线 l 的普 通方程为 x-y-2=0, 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点 . (1) 求线段 AB 的长 . (2) 已知点 P 在曲线 C 上运动 . 当△ PAB 的面积最大时 , 求点 P 的坐标及△ PAB 的最大面积 . 【 解析 】 (1) 根据题意 , 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 则其普通方程为 =1, 将直线 x-y-2=0 代入 =1, 可得 :x 2 -3x=0, 解得 x=0 或 3, 故 |AB|= |x 1 -x 2 |=3 . (2) 要求在椭圆 =1 上求一点 P, 使△ PAB 的面积最 大 , 则 P 到直线 l 的距离最大 ; 设 P 的坐标为 (2 cos θ,2sin θ), 其中 θ∈[0,2π), 则 P 到直线 l 的距离 d= 又因为 θ∈[0,2π), 所以 所以当 θ+ =π, 即 θ= 时 ,d 取得最大值 , 且 d max =3 , 此时 P(-3,1), △PAB 的最大面积 S max = ×|AB|×d max =9. 考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用 【 明考点 · 知考法 】 参数方程与极坐标方程的综合应用是高考的常考考点 , 一般同时出现参数方程、极坐标方程 , 需要对给出的方 程进行针对性互化 , 并综合利用参数、极径和极角的几 何意义解题 , 渗透数学建模、数学运算、抽象思维的思想和方法 . 命题角度 1 　求交点坐标、距离、线段长 【 典例 】 (2018· 渭南模拟 ) 已知极坐标系的极点在直 角坐标系的原点处 , 极轴与 x 轴非负半轴重合 , 直线 l 的 极坐标方程为 3ρcos θ+ρsin θ-6=0, 圆 C 的参数方 程为 (α 为参数 ). (1) 求直线 l 被圆所截得的弦长 . 世纪金榜导学号 (2) 若过 P(0,-2) 的直线与圆相交于不同的两点 A,B, 求 . 【 解析 】 (1) 直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ+ρsin θ -6=0, 转换为直角坐标方程为 3x+y-6=0, 圆 C 的参数方程为 (α 为参数 ), 转换为直角坐标方程为 :x 2 +(y-1) 2 =5, 则圆心 (0,1) 到直线 3x+y-6=0 的距离 d= 则直线被圆所截得的弦长为 2 (2) 设经过点 P(0,-2) 的直线方程为 (t 为参数 ), 代入圆的方程得 (tcos θ) 2 +(-2+tsin θ-1) 2 =5, 整理得 t 2 -6tsin θ+4=0, 故 =t 1 t 2 =4. 【 状元笔记 】 求坐标、距离、弦长的解题策略 (1) 利用 ρ,θ,t 的几何意义 , 结合图形关系 , 利用弦长公式、正余弦定理等求距离、弦长 (2) 统一成直角坐标方程解题 命题角度 2 　曲线的位置关系及应用 【 典例 】 (2018· 九江模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 以坐标 原点 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 已知直 线 l 的极坐标方程为 ρ= . 世纪金榜导学号 (1) 试判断直线 l 与曲线 C 的位置关系 . (2) 若直线 θ= (ρ∈R) 与直线 l 交于点 A, 与曲线交于 M,N 两点 , 求 |AM| · |AN| 的值 . 【 解析 】 (1) 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参 数 ), 转换为直角坐标方程为 :x 2 + =7, 直线的极坐标方程为 ρ= , 转换为直角坐标方程为 x+ y-2=0, 所以圆心 (0, ) 到直线 x+ y-2=0 的距离 d= 所以直线与圆相交 . (2) 把直线 θ= 代入 ρ= , 解得 ρ=1. 把 θ= 代入 ρ 2 -2 ρsin θ-4=0, 解得 ρ 1 =4, ρ 2 =-1, 所以 |AM|=|ρ 1 -ρ|=|4-1|=3,|AN|=|ρ-ρ 2 |=|1-(-1)| =2, 故 |AM| · |AN|=3×2=6. 【 状元笔记 】 位置关系相关解题策略 (1) 利用直线与圆、圆与圆位置关系的相关结论判断 (2) 利用方程联立后 Δ 的取值判断 (3) 利用曲线的位置关系解决相关的范围问题 命题角度 3 　求最值范围问题 【 典例 】 (2019· 武昌模拟 ) 以直角坐标系的原点 O 为极 点 , 以 x 轴的正半轴为极轴 , 且两个坐标系取相等的长度 单位 , 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 , 0≤α<π), 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos 2 θ=4sin θ. (1) 若 α= , 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标 方程 . 世纪金榜导学号 (2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 , 当 α 变化时求 |AB| 的最小值 . 【 解析 】 (1) 当 α= 时 , 由直线 l 的参数方程 (t 为参数 ), 消去 t 得 y= x+2, 即直线 l 的普通方程为 x- y+2 =0, 因为曲线 C 过极点 , 由 ρcos 2 θ=4sin θ, 得 (ρcos θ) 2 =4ρsin θ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 =4y. (2) 将直线 l 的参数方程代入 x 2 =4y, 得 t 2 cos 2 α-4tsin α -8=0, 由题意知 α∈ , 设 A,B 两点对应的参数 方程分别为 t 1 ,t 2 , 则 t 1 +t 2 = ,t 1 t 2 =- , 所以 |AB|=|t 1 -t 2 |= 因为 α∈ , 所以 cos 2 α∈(0,1], ≥1, 当 =1, 即 cos 2 α =1, 即 α=0 时 ,|AB| 取最小值 , 最小值为 4 . 【 状元笔记 】 范围问题的解题方法 首先将要求的量表示出来 , 其中用圆、椭圆的参数方程表示点的坐标是常用的方法 , 其次充分利用配方、基本不等式、三角函数的值域求范围