山东省聊城市2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

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山东省聊城市2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

‎2019-2020学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共10小题)‎ 1. 椭圆的一个焦点坐标为 A. B. C. D. ‎ 2. 数列为等差数列,为其前n项和,若,则 A. 120 B. ‎60 ‎C. 80 D. 240‎ 3. 在各项均为正数的等比数列中,,则 A. 有最小值3 B. 有最小值‎4 ‎C. 有最大值3 D. 有最大值4‎ 4. 从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为,那么此椭圆的离心率 A. B. C. D. ‎ 5. 已知命题p:存在,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 6. 是等比数列,若“n,p,”是“”成立的充分必要条件,则数列可以是 递增数列;递减数列;常值数列;摆动数列 A. B. C. D. ‎ 7. 设函数,若关于x的不等式在区间上恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 椭圆的左右焦点为,,P为椭圆上第一象限内任意一点,关于P的对称点为M,关于的对称点为N,则的周长为 A. 8 B. ‎10 ‎C. 16 D. 22‎ 9. 已知数列的通项公式,其前n项和为,若,则的最大值是 A. 1 B. ‎3 ‎C. 5 D. 7‎ 10. 设,是椭圆的两个焦点,若C上存在点P满足,则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 11. 已知,则函数的最大值为______.‎ 12. 已知等比数列中,若,则______.‎ 13. 下列命题中正确的序号是______. “”是“”的充要条件; 若,则,是的充分必要条件; 命题“对任意,有”的否定是“存在,有”; 若p:,q:,则p是q成立的必要不充分条件.‎ 14. ‎,分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,,过作的角平分线的垂线,垂足为M,则的长为______.‎ 三、解答题(本大题共4小题)‎ 15. 设m是实数,已知命题p:,使函数满足;已知命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. 若命题p为真命题,求m的取值范围; 若命题p,q均为假命题,求实数m的取值范围. ‎ 1. 已知函数. 若,求不等式的解集; 若,,且,求的最小值. ‎ 2. 已知椭圆的长轴两端点为,,离心率为,,分别是椭圆C的左,右焦点,且. 求椭圆的标准方程; 设A,B是椭圆C上两个不同的点,若直线AB在y轴上的截距为4,且OA,OB的斜率之和等于4,求直线AB的方程. ‎ 3. 若各项均不为零的数列的前n项和为,数列的前n项和为,且,. 证明数列是等比数列,并求的通项公式; 设,是否存在正整数k,使得对于恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解:椭圆的焦点在y轴上的椭圆,,,, 椭圆的焦点坐标是, 故选:D. 直接利用椭圆方程求解椭圆的焦点坐标即可. 本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力. 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解:数列为等差数列,为其前n项和,, . 故选:A. 由等差数列前n项和公式和通项公式得,由此能求出结果. 本题考查等差数列的前12项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解:各项均为正数的等比数列中,, 则,当且仅当时取等号. 故选:B. 利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出. 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解:因为椭圆的长轴为,B为短轴一端点,, 所以,即,又, , 解得; 故选:B. 利用椭圆的长轴为,B为短轴一端点,若,求出a,b的关系,利用求出a,c的关系,求出椭圆的离心率即可. 本题考查椭圆的基本性质,注意椭圆中元素的几何意义,考查计算能力. 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解:命题p:存在,,则:任意,, 命题p是假命题,:任意,是真命题, 则,即. 故选:D. 写出原命题的否定,由命题p是假命题,得为真命题,再由判别式法求解. 本题考查命题的真假判断与应用,考查命题的否定,考查数学转化思想方法,是中档题. 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解:数列是等比数列,若n,p,,则一定有; 即对于任意等比数列,一定有“n,p,”是“”成立的充分条件, 反之,在等比数列中,若“n,p,”是“”成立的必要条件, 即由,一定得到n,p,,则等比数列的公比不等于1, 如数列2,2,2,,由,不能得到. 数列可以是递增数列;递减数列;摆动数列;不能是常值数列. 故选:C. 由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知,若“n,p,”是“”成立的充分必要条件,则数列不可以是常值数列. 本题考查充分必要条件的判断及应用,考查等比数列的性质,是中档题. 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解:, 而,, 由题知, 又函数在上递增,令,解得:. 故得实数m的取值范围是. 故选:A. 根据不等式在区间上恒成立,结合二次函数的图象计算即可. 本题主要考查了函数解析式,恒成立问题的求解,转化思想的应用,二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用. 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解:椭圆的左右焦点为,, 可得,, P为椭圆上第一象限内任意一点,关于P的对称点为M,关于的对称点为N,如图: 则的周长为:. 故选:C. 利用已知条件结合椭圆的性质,转化求解即可. 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用,考查数形结合以及计算能力. 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解:由,得或,即, 又函数的图象开口向下,所以数列前4项为负, 当时,数列中的项均为负数, 在的前提下,的最大值是. 故选:A. 根据数列的通项公式,求得数列的前4项为负值,从第8项开始也全部为负,因此,最大. 本题考查了数列的函数特性,解答的关键是分清在的前提下,什么情况下最大,什么情况下最小,题目同时考查了数学转化思想. 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解:若焦点在x轴上时,C点为椭圆短轴的端点时,取得最大角,设, 则,,解得. 若焦点在y轴上时,C点为椭圆短轴的端点时,取得最大角,设, 则,,解得. 综上可得:m的取值范围是. 故选:A. 对焦点分类讨论,C点为椭圆短轴的端点时,取得最大角,进而得出结论. 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、分类讨论方法、三角函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 11.【答案】 ‎ ‎【解析】解:, ,, ,当且仅当,即时取等号, 的最大值为. 故答案为:. 根据即可求出,从而根据基本不等式即可求出,从而得出,从而得出的最大值. 本题考查了基本不等式求最值的应用,注意说明等号成立的条件,考查了计算能力,属于基础题. 12.【答案】6 ‎ ‎【解析】解:等比数列中,若, 则, . 故答案为:6. 等比数列中,根据,可得,即可得出. 本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解:对于,由,不一定有,反之也不成立,“”是“”的既不充分也不必要条件,故错误; 对于,由,可得集合,与表示的平面区域如图: 由,不能得到,反之成立, 则,是的充分必要条件,故错误; 对于,命题“对任意,有”的否定是“存在,有”故正确; 对于,由,不能得到,反之成立,则p是q 成立的必要不充分条件,故正确. 正确命题的序号是. 故答案为:. 由不等式的性质及充分必要条件的判定方法判断;画出图形,结合充分必要条件的判定方法判断;写出全称命题的否定判断. 本题考查命题的真假判断与应用,考查全称命题的否定,考查充分必要条件的判定,是中档题. 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解:延长,延长,交于N,则,, 又根据椭圆的定义知,所以, , 根据OM是三角形的中位线可得, 故答案为:2. 利用椭圆的性质求出,利用几何法求出即可. 考查椭圆的性质的应用,本题关键是作辅助线,中档题. 15.【答案】解:当命题p为真时,由可知函数的图象与x轴有两个交点. 即,即,则,解得; 当命题q为真时,即方程表示焦点在x轴上的椭圆, ,得. 当p为假命题时,或. 当命题q为假命题时,或. 因此当命题p为假命题,q为假命题时, 解得或. 故实数m的取值范围为或. ‎ ‎【解析】由p为真,得的图象与x轴有两个交点,由判别式大于0求解m的取值范围; 求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的m的取值范围,再由补集与交集思想求解命题p,q均为假命题的实数m的取值范围. 本题考查命题的真假判断与应用,考查函数零点的判定与椭圆的标准方程,是中档题. 16.【答案】解:因为,所以, 由,得,即, 当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为; 当时,不等式的解集为; 综上所述,不等式的解集为:当时解集为,当时解集为,当时,解集为; 因为,由已知, 可得即, 由. 当且仅当,即,时取等号. 所以的最小值为. ‎ ‎【解析】由题意可得,然后结合二次不等式的求法,进行分类讨论可求; 把代入函数,然后结合已知条件可求得,进行1的代换后利用基本不等式即可求解. 本题主要考查了含参数二次不等式的求解,体现了分类讨论思想的应用,还考查了利用1的代换,利用基本不等式求解最值,属于中档试题. 17.【答案】由题意可知,,, 以及可知, ,解得. 椭圆的标准方程为. 设,,直线AB 的方程为. 联立,得. 则,, 由, 解得, 直线AB的方程为. ‎ ‎【解析】利用已知条件求出,,代入即可;根据斜率之和等于4,求出k,代入直线方程求出即可. 考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,中档题. 18.【答案】解:证明:,, 由数列的前n项和为,数列的前n项和为及得 , 即为, 由,可得, 从而当时,, 得,即,所以, ,. ,令,得,,. 当时,由, 得, 由知,此时. 数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,且. , ,, 假设存在正整数k,使得对于恒成立, 可得,即k的最小值为1. ‎ ‎【解析】运用数列的递推式,结合等比数列的定义和通项公式,可得所求; 由对数的运算性质可得,求得,由数列的裂项相消求和可得得,再由不等式恒成立思想,可得所求最小值. 本题考查数列的递推式的运用,考查等比数列的定义和通项公式,以及数列的裂项相消求和,化简运算能力,属于中档题. ‎
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