2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省深州市中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】分析：把化为形式，得对应点为，从而可在第几象限.‎ 详解：，对应点为在第一象限.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即的形式，它对应的点的坐标为.‎ ‎2．在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】方程，可化简为：，即.‎ 整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.‎ 故选B.‎ ‎3．已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：写出中命题的否定和求出双曲线的离心率可知命题的真假，从而得出结论.‎ 详解：命题的否定是，‎ 命题为真，双曲线中，‎ 则，即离心率为，命题为假，‎ 因此只有为真，故选A.‎ 点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假，本题中简单命题的真假只要根据其定义求解即可知.‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，若输入的值为时，输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：代入，模拟程序运行，可得出结果.‎ 详解：当时，，故选B.‎ 点睛：本题考查程序框图，解题时只要模拟程序运行，按程序进行变量的计算.‎ ‎5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：‎ 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 附表：‎ 经计算，则下列选项正确的是（ ）‎ A. 有以上的把握认为使用智能手机对学习有影响 B. 有以上的把握认为使用智能手机对学习无影响 C. 有以上的把握认为使用智能手机对学习有影响 D. 有以上的把握认为使用智能手机对学习无影响 ‎【答案】A ‎【解析】与临界值对比，，所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，故选A.‎ ‎6．某公司某产品的广告费与销量之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出与的线性回归直线方程为，则表格中的值应为（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎70‎ A. 45 B. 50 C. 55 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，根据上表中的数据可知，‎ 代入回归直线方程可得，故选D.‎ ‎【考点】回归直线方程的应用.‎ ‎7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该著作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设输入，则 ‎（1），，‎ ‎（2），，‎ ‎（3），，‎ 所以，故选A。‎ ‎8．①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设， ， 都是正数，用反证法证明三个数， ， 至少有一个不小于2时，可假设， ， 都大于2，以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：反证法中假设是假设结论的反面成立，可分别写出结论反面，判断正误.‎ 详解：的反面是，①正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，故选C．‎ 点睛：本题考查反证法，在反证法的假设中要注意，结论的反面是什么，特别是命题中有“至少”、“至少有一个”、“至多”、“至多有2个”、“都”等词时，它的反面是什么，不能写错.‎ ‎9．若曲线（为参数）与曲线相交于， 两点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相交的弦长处理方法计算．‎ 详解：曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为，圆心O到直线的距离为，又，∴＝ ，故选D．‎ 点睛：直线与圆相交的弦长有两种方法：一是代数方法，一是几何方法，代数法就是由直线与圆方程联立方程组解得交点坐标，再由两点间距离公式求得弦长，常用的是几何方法：用垂径定理，即求出圆心到直线的距离，则弦长．‎ ‎10．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； ‎ 小王说：“丁团队获得一等奖”； ‎ 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； ‎ 小赵说：“甲团队获得一等奖”． ‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ ‎2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ ‎3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ ‎4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ ‎11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，故选B.‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，若，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由联想到构造函数，此函数是奇函数，在时，，从而具有单调性，再结合已知可求得不等式解集．‎ 详解：设，则，∴是奇函数，又时，，因此此时是减函数，于是在时，也是减函数，由，得，∴的解集为，故选D．‎ 点睛：构造新函数是导数的一个典型应用，难点是构造的新函数的形式，在解题中常常有这些构造法：，，，等等，平常学习中要注意总结．‎ 二、填空题 ‎13．是虚数单位，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用复数模的定义可求解．‎ 详解：，故答案为．‎ 点睛：本题考查复数的模，掌握模的计算公式是解题基础，本题是容易题．‎ ‎14．若不等式与不等式的解集相同，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先解绝对值不等式，然后利用二次不等式的解集与二次方程根的关系，结合韦达定理可得结论．‎ 详解：不等式得，解得，∴的解为和，于是，，故答案为－4．‎ 点睛：本题考查“三个二次”之间的关系，（）的解是 ，则不等式的解集是，是的两个零点．‎ ‎15．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第6年的分枝数分别为1,1,2,3,5,8，则预计第10年树的分枝数为__________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】55‎ ‎【解析】分析：观察6年数据，发现从第3年开始，每年的分枝数都前2年的分枝数的和．根据此规律可得结论．‎ 详解：记第年分枝数为，则，当时，，所以，，，，故答案为55．‎ 点睛：本题考查数列的递推公式，由前6项数据归纳出数列的递推公式为，由此递推公式可计算出第10年的数据，也考查了归纳推理能力，属于基础题．‎ ‎16．已知为抛物线的焦点， 为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，‎ 又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故答案.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数的最小值为,且,‎ 求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 解集为;(2) 的最小值为.‎ ‎【解析】分析：（1）可根据绝对值的性质：去掉绝对值符号，再解一元一次不等式组得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值为2，把凑配为 ，展开后利用基本不等式可求得最小值．‎ 详解：（1）由知,于是,‎ 解得,故不等式的解集为.‎ ‎(2)由条件得,‎ 当且仅当时等号成立, ,即,‎ 又,‎ 所以的最小值为,此时.‎ 点睛：解含绝对值的不等式，一般都是利用绝对值的定义去掉绝对值符号，化为不含绝对值的不等式分类求解．基本不等式求最值时要注意其条件：一正二定三相等，许多时候要经过凑配法才能出现定值，象本题的方法具有一般性．‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求不等式 ‎（2）若的图像与直线围成图形的面积为14，求实数a的值.‎ ‎【答案】(1) 解集为;(2) 实数的值为.‎ ‎【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，然后分类解不等式可得出解集；（2）作出的图象，如解析中的折线，可分类，若直线过点，此时求出面积为6＜14，因此，这样下面的梯形的面积为8，由梯形面积公式可计算出值．‎ 详解：（1） ‎ 则不等式 解得故不等式的解集为 ‎ ‎（2）作出函数的图象，如图，若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值， ‎ 的图象与直线围成图形的面积为14，该图形一定是四边形，即 ‎ ‎△ABC的面积是6， 的面积为8. ‎ 又 故实数的值为 点睛：解含绝对值的不等式，一般都是利用绝对值的定义去掉绝对值符号，化为不含绝对值的不等式分类求解，有时也可根据绝对值的性质去绝对值符号，解题时要灵活运用．‎ ‎19．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）把的参数方程式化为普通方程， 的极坐标方程式化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求与交点的极坐标．‎ ‎【答案】(1) 的普通方程为,的直角坐标方程为;(2) 与交点的直角坐标为极坐标分别为.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）曲线 的参数方程利用消去参数化为普通方程．把代入可得极坐标方程; （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为，化为直角坐标方程：．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．‎ 试题解析：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程，‎ 即的普通方程为，‎ 由，得，‎ 再将代入，得，‎ 即的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）由解得或 所以与交点的极坐标分别为.‎ ‎20．下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码 年份.‎ 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 线下销售额 ‎95‎ ‎165‎ ‎230‎ ‎310‎ ‎（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；‎ ‎（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种）， 其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，补全列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？‎ 参考公式及数据：‎ ‎， ， ， ‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 经计算得：，‎ 列联表如下：‎ 持乐观态度 持不乐观态度 合计 男顾客 ‎10‎ ‎55‎ 男顾客 ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎105‎ ‎【答案】(1) 关于的线性回归方程为,预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据已知数据计算出回归直线方程中的系数，可得回归直线方程；（2）根据题中数据填写全列联表，再由公式计算出后比较可得结论．‎ 详解：（1）由题意得， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ 由于，所以当时， ，‎ 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元. ‎ ‎（2）由题可得列联表如下：‎ 故的观测值， ‎ 由于，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.‎ 点睛：本题考查统计的应用，考查计算能力，考查求回归直线方程和独立性检验，解题时可根据题中数据和所给公式计算．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.（为坐标原点）‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程是;(2) 面积取得最大值.‎ ‎【解析】分析：（1）由离心率得，从而得，再由椭圆过得，解得后得方程；（2）直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立后消去得 的一元二次方程，设，应用韦达定理得，结合图形得 ，可把它表示为的函数，，可用换元法（设）后结合基本不等式求得最值．‎ 详解：（1）由，得，①‎ 由椭圆经过点，得，②‎ 联立①②，解得 所以椭圆的方程是.‎ ‎（2）已知直线的斜率存在，设其方程为 将直线的方程与椭圆的方程联立得，‎ ‎，消去得， ‎ 令得，‎ 设，则 所以 因为 ‎ 设 则 ‎ 当且仅当，即时等号成立，此时 面积取得最大值.‎ 点睛：直线与椭圆相交的最值问题，常常采用“设而不求”思想，即直线 的斜率存在，设其方程为 ，与椭圆方程联立后消去得的一元二次方程，设，应用韦达定理得，再把已知的条件用坐标表示，象三角形的面积可利用弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出到的距离即三角形的高，从而可把面积表示为的函数，最后由函数知识求得最值．‎ ‎22．已知函数， .‎ ‎（1）时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，求实数的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，对， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 满足题意;(3)‎ ‎【解析】分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）求出，利用求得，然后要检验此时是否为极值点，否则会出错；（3）不等式可化为，从而问题转化为求的最小值，再利用导数知识可得．‎ 详解：（1）①在区间上， ， ‎ 令得，在区间上，，函数单调递减，‎ 在区间上，，函数单调递增.‎ 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎（2），函数在处取得极值，所以，解得，由（1）可知满足题意. ‎ ‎（3）时，由已知，得，‎ 即对恒成立， ‎ 令，则， ‎ 易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，即.‎ 点睛：（1）用导数求单调区间方法：求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；‎ ‎（2）求极值方法：用导数求单调区间方法：求出导函数，求出的零点（当然可能有多个），确定在的两侧的正负，得的单调性，从而确定是的极大值点还是极小值点；‎ ‎（3）用导数研究不等式恒成立问题，常把问题转化为求函数的最值问题，“分离参数法”是常用方法之一，象本题，只要求出转化后的函数最值即得参数取值范围．‎