【数学】2020届一轮复习人教A版 导数与方程学案
破解难点优质课(二) 导数与方程
破解难点一 判断、证明或讨论函数零点个数
两类零点问题的不同处理方法:利用零点存在性定理的条件为函数图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0;② 分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
案例
方法与思维
【直接法】[2017·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2
0.所以h(x)在0,12上单调递减,在12,+∞上单调递增.【关键1:构造函数,利用导数研究函数的单调性】
又h(e-2)>0,h12<0,h(1)=0,所以h(x)在0,12上有唯一零点x0,在12,+∞上有唯一零点1,【关键2:利用零点存在性定理判断导函数零点的位置】
且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.
因为f'(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f'(x0)=0得ln x0=2(x0-1),
故f(x0)=x0(1-x0).由x0∈0,12得f(x0)<14.【关键3:求二次函数值域得到f(x0)的范围】
因为x=x0是f(x)在(0,1)上的最大值点,由e-1∈(0,1),f'(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2,所以e-20),讨论h(x)零点的个数.
……
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上无零点.【关键1:对x的取值分类讨论,适当放缩,判断h(x)的符号,确定函数零点个数】
当x=1时,若a≥-54,则f(1)=a+54≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a<-54,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.【关键2:当x的取值固定时,对参数a的取值分类讨论,确定函数值的符号得到零点个数】
当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.
(i)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调.而f(0)=14,f(1)=a+54,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)上没有零点.
(ii)若-30,即-34-34或a<-54时,h(x)有一个零点;当a=-34或a=-54时,h(x)有两个零点;当-540,h(x)没有零点.【关键2:对参数a分类讨论,结合函数值判断函数零点情况】
(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在[0,+∞)的最小值.【关键3:分类讨论,利用导数研究函数单调性,求函数最值】
①若h(2)>0,即ae24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.
由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.
故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.【关键4:对函数最小值的符号分类讨论,结合函数单调性判断零点情况,求出参数值】
综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e24.
(续表)
案例
方法与思维
【直接分类讨论】[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
……
(2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.【关键1:针对f(x)解析式的特点,可对参数a直接分类讨论】
(ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-1a+ln a.【关键2:结合函数单调性求函数最小值,进而根据最小值直接判断零点的情况】
①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;
②当a∈(1,+∞)时,由于1-1a+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点;
③当a∈(0,1)时,1-1a+ln a<0,即f(-ln a)<0.
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)上有一个零点.
设正整数n0满足n0>ln3a-1,则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.
由于ln3a-1>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)上有一个零点.【关键3:对参数a分类讨论,结合函数单调性与最小值判断函数零点情况,求参数取值范围】
综上,a的取值范围为(0,1).
例2 [2018·武汉调研] 已知函数f(x)=xex-a(ln x+x),a∈R.
(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
[总结反思] 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数的单调性确定函数图像与x轴的交点个数,或者通过两个相关函数图像的交点个数确定参数满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.
变式题 [2018·唐山模拟] 已知a>0,函数f(x)=ln x+4ax+a2-2.
(1)记g(a)=f(a2),求g(a)的最小值;
(2)若f(x)有三个不同的零点,求a的取值范围.
破解难点三 可化为函数零点的函数问题(与函数零点性质研究)
本探究点包括两个方向:一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法);二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).
能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.
案例
方法与思维
【可化为函数零点的函数问题】[2014·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)a;
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
……
(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.
设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.【关键1:等价转换,构造函数】
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根.【关键2:利用导数判断函数单调性,判断实根情况】
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.
综上,g(x)=0在R上有唯一实根,【关键3:利用导数判断函数单调性,结合零点存在性定理判断实根情况】
即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
【函数零点性质研究】[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
……
(2)证明:不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.【关键1:利用分析法转化要证明的不等式】
由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,①
而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,②
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.【关键2:将②代入①,利用整体代入消元】
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,【关键3:构造函数】
则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).
所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0,
从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.【关键4:利用导数判断函数单调性、用最值证明不等式】
例3 [2018·南宁期中] 设函数f(x)=12x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x.
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥0时,讨论函数f(x)与g(x)图像的交点个数.
[总结反思] 曲线的切线条数、两曲线的交点个数等问题均可转化为关于某个未知数的方程解的个数问题,再转化为对应函数的零点个数问题,通过研究函数的零点个数确定相应的数量.
变式题 [2019·珠海模拟] 已知函数f(x)=x2-1x+aln x.
(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
例4 [2018·资阳三诊] 已知函数F(x)=px+ln(px)(其中p>0).
(1)当p=12时,判断F(x)的零点个数k;
(2)在(1)的条件下,记这些零点分别为xi(i=1,2,…,k),求证:1x1+1x2+…+1xk>4.
[总结反思] (1)研究函数零点问题,要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助,得出函数零点的可能情况;(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究,要抓住函数在不同零点处函数值均为零,建立不同零点之间的关系,把多元问题转化为一元问题,再使用一元函数的方法进行研究.
变式题 已知函数f(x)=ln x-x.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)+x+12x-m有两个零点x1,x2,且x11.