数学文·山西省孝义市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）+Word版含解析

数学文·山西省孝义市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）+Word版含解析

‎2016-2017学年山西省孝义市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知集合，则A∪B=（　　）‎ A．R B．[0，+∞） C．[0，1] D．（0，1）‎ ‎2．给定四组数据：甲：1，2，3，4，5；乙：1，3，5，7，9；丙：1，2，3；丁：1，3，5．其中方差最小的一组是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎3．设数列{an}的通项公式为an=3n，且a2，a4，ak成等比数列，则数列k的值为（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎4．已知函数f（x）=g（x）+x2，对于任意x∈R总有f（﹣x）+f（x）=0，且g（﹣1）=1，则g（1）=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3‎ ‎5．若sinαsinβ=1，则cos（α+β）=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．0 D．0或﹣1‎ ‎6．若实数x，y满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴端点B与两焦点F1，F2构成的三角形面积最大时，椭圆的短半轴长为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．已知AD为△ABC边BC的中线，且，则=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．3025 B．﹣3024 C．﹣3025 D．﹣6050‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．72 B．76 C．80 D．88‎ ‎11．已知双曲线C：的左焦点关于C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．若点P（x0，y0）是曲线y=xex上任意一点，则|x0﹣y0﹣4|的最小值为（　　）‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若复数z满足z2=i，则为|z|=　　．‎ ‎14．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线 x+2y+2z+3=0的距离为　　．‎ ‎15．某人打算制定一个长期储蓄计划，每年年初存款2万元，连续储蓄12年．由于资金原因，从第7年年初开始，变更为每年年初存款1万元．若存款利率为每年2%，且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金，则第13年年初的本息和约为　　万元（结果精确到0.1）．（参考数据：1.026≈1.13，1.0212≈1.27）‎ ‎16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=3，又，则该三棱锥外接球的表面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2求CD的长．‎ ‎18．某大学生从全校学生中随机选取100名统计他们的鞋码大小，得到如下数据：‎ 鞋码 ‎ ‎35 ‎ ‎ 36‎ ‎ 37‎ ‎ 38‎ ‎39 ‎ ‎ 40‎ ‎41 ‎ ‎42 ‎ ‎ 43‎ ‎ 44‎ ‎ 合计 男生 ‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 3‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 2‎ ‎ 55‎ ‎ 女生 ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 12‎ ‎ 9‎ ‎ 9‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 1‎ ‎ 45‎ ‎（1）某鞋店计划采购某种款式的女鞋1000双，则其中38号鞋应有多少双？‎ ‎（2）完成频率分布直方图，并估计该校学生的平均鞋码．‎ ‎19．如图1，ABCD为长方形，AB=3，AD=，E，F分别是边AB，CD 上的点，且AE=CF=1，DE与AF相交于点G，将三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如图2．‎ ‎（1）求证：平面D'EG⊥ABCF平面；‎ ‎（2）求三棱锥D'﹣BEG的体积．‎ ‎20．已知圆B：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，过原点O作两条不同的直线l1，l2与圆B分别交于P，Q．‎ ‎（1）过圆心B作BA⊥OP，BC⊥OQ，垂足分别为点A，C，求过四点O，A，B，C的圆E的方程，并判断圆B与圆E的位置关系；‎ ‎（2）若l1与l2的倾斜角互补，试用l1的倾斜角α表示△OPQ的面积，并求其最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R，且f'（2）=．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：与曲线y=lnx（x＞1）和y=ex都相切的直线有且只有一条．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：参数方程与极坐标系]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）若C1与C2只有一个公共点，求实数m的值；‎ ‎（2）若θ=与C1交于点A（异于极点），θ=与C1交于点B（异于极点），与C2交于点C，若△ABC的面积为3，求实数m（m＜0）的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）对于任意x∈R都有a（x+3）≥f（x）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省孝义市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知集合，则A∪B=（　　）‎ A．R B．[0，+∞） C．[0，1] D．（0，1）‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，由此利用并集定义能求出A∪B．‎ ‎【解答】解：∵集合={x|0＜x≤1}，‎ ‎∴A∪B={x|0≤x≤1}=[0，1]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．给定四组数据：甲：1，2，3，4，5；乙：1，3，5，7，9；丙：1，2，3；丁：1，3，5．其中方差最小的一组是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据题意，由所给的四组数据，依次计算四组数据的方差，比较可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次计算四组数据的方差：‎ 对于甲：1，2，3，4，5；其平均数==3，则其方差S2==2；‎ 对于乙：1，3，5，7，9；其平均数==5，则其方差S2==8；‎ 对于丙：1，2，3；其平均数==2，则其方差S2==，‎ 对于丁：1，3，5．其平均数==3，则其方差S2==，‎ 比较可得：丙组方差最小；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．设数列{an}的通项公式为an=3n，且a2，a4，ak成等比数列，则数列k的值为（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据数列{an}的通项公式写出a2，a4，ak，再根据等比中项的定义列出算式求出k的值．‎ ‎【解答】解：数列{an}的通项公式为an=3n，‎ 且a2，a4，ak成等比数列，‎ ‎∴=a2•ak，‎ 即122=6×3k，‎ 解得k=8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=g（x）+x2，对于任意x∈R总有f（﹣x）+f（x）=0，且g（﹣1）=1，则g（1）=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】利用f（﹣x）+f（x）=0可知f（x）是奇函数．函数f（x）=g（x）+x2，g（﹣1）=1，可求g（1）的值．‎ ‎【解答】解：由题意，f（﹣x）+f（x）=0可知f（x）是奇函数，‎ ‎∵f（x）=g（x）+x2，g（﹣1）=1，‎ 即f（﹣1）=1+1=2‎ 那么f（1）=﹣2．‎ 故得f（1）=g（1）+1=﹣2，‎ ‎∴g（1）=﹣3，‎ 故选D ‎　‎ ‎5．若sinαsinβ=1，则cos（α+β）=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．0 D．0或﹣1‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案．‎ ‎【解答】解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，‎ ‎∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若实数x，y满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解目标函数的期限分为即可．‎ ‎【解答】解：实数x，y满足，的可行域如图：‎ 则=，表示可行域内的点与P（1，0）连线的斜率的相反数，‎ 由题意可知：，可得A（1，1），‎ ‎，可得B（，），‎ 则≥=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴端点B与两焦点F1，F2构成的三角形面积最大时，椭圆的短半轴长为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】a2+b2=4，即2b2+c2=4，利用基本不等式的性质可得bc≤，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=4，∴2b2+c2=4≥2，化为：bc≤，当且仅当c=b=时取等号．‎ ‎∴==bc≤，此时取等号时，b=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知AD为△ABC边BC的中线，且，则=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】可画出图形，对的两边平方即可求出，而对的两边平方，即可求出的值，从而求出的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ 又；‎ ‎∴=；‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．3025 B．﹣3024 C．﹣3025 D．﹣6050‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，则S=﹣1，n=2； ‎ 当n=2时，满足进行循环的条件，则S=﹣1+4，n=3； ‎ 当n=3时，满足进行循环的条件，则S=﹣1+4﹣7，n=4； ‎ 当n=4时，满足进行循环的条件，则S=﹣1+4﹣7+10，n=5； ‎ ‎…‎ 当n=2016时，满足进行循环的条件，则S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣（3×2015﹣2）+（3×2016﹣2），n=2017； ‎ 当n=2017时，满足进行循环的条件，则S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣（3×2015﹣2）+（3×2016﹣2）﹣（3×2017﹣2），n=2018； ‎ 当n=2018时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的S=﹣1+4﹣7+10﹣…﹣（3×2015﹣2）+（3×2016﹣2）﹣（3×2017﹣2）=3×1008﹣3×2017+2=﹣3025，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．72 B．76 C．80 D．88‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可得直观图为组合体，下边为棱长为4的正方体，体积为64，上边是底面为正方形，高为3的四棱锥，体积为=16，健康求出此几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可得直观图为组合体，下边为棱长为4的正方体，体积为64，‎ 上边是底面为正方形，高为3的四棱锥，体积为=16，‎ ‎∴此几何体的体积为64+16=80，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：的左焦点关于C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线的左焦点为F（﹣c，0），求出渐近线方程，设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：双曲线C：的左焦点为F（﹣c，0），‎ 渐近线方程为y=±x，‎ 设F关于y=x的对称点为（m，﹣m），‎ 由题意可得=﹣，（*）‎ 且（0﹣m）=•（m﹣c），‎ 可得m=c，代入（*）可得b2=3a2，‎ c2=a2+b2=4a2，‎ 则离心率e==2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若点P（x0，y0）是曲线y=xex上任意一点，则|x0﹣y0﹣4|的最小值为（　　）‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由题可得所求最小值为曲线上P到直线x﹣y﹣4=0的距离的 倍．求出函数的导数，由切线斜率为1，构造函数f（x）=ex﹣，求出导数，判断单调性，解方程可得切点，进而运用两平行直线的距离公式可得最小值．‎ ‎【解答】解：|x0﹣y0﹣4|=•，‎ 表示曲线上P到直线x﹣y﹣4=0的距离的倍．‎ 设与直线x﹣y﹣4=0平行的直线x﹣y﹣t=0，与曲线相切，‎ 由y=xex的导数为y′=（x+1）ex，‎ 由切线的斜率为1，可得（x+1）ex=1，‎ 可令f（x）=ex﹣，其导数为f′（x）=ex+＞0，‎ 可得f（x）在（﹣1，+∞）递增，‎ 由f（0）=e0﹣1=0，‎ 可得（x+1）ex=1的根为x=0，‎ 即有切点为（0，0），‎ 可得t=0，‎ 由平行直线的距离公式可得两平行线的距离为，‎ 则则|x0﹣y0﹣4|的最小值为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若复数z满足z2=i，则为|z|=　1　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】根据复数模的定义，直接求模即可得答案．‎ ‎【解答】解：∵z2=i，‎ ‎∴|z|2=1．‎ ‎∴z的模为|z|=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为 ‎，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为　5　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离为，可知在空间中，d==5．‎ ‎【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离为，‎ 可知在空间中，‎ 点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎15．某人打算制定一个长期储蓄计划，每年年初存款2万元，连续储蓄12年．由于资金原因，从第7年年初开始，变更为每年年初存款1万元．若存款利率为每年2%，且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金，则第13年年初的本息和约为　20.9　万元（结果精确到0.1）．（参考数据：1.026≈1.13，1.0212≈1.27）‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】确定每年的本息和，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意，第13年年初的本息和为2（1.0212+1.0211+…+1.027）+（1.026+1.025+…+1.02）‎ ‎=2×+≈20.9．‎ 故答案为20.9．‎ ‎　‎ ‎16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=3，又，则该三棱锥外接球的表面积为　49π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC=3，，‎ ‎∴由余弦定理可得BC==，‎ ‎∵sin∠BAC=，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径为r=，‎ 设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=12+（）2=，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=49π．‎ 故答案为：49π．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2求CD的长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，求出tanB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；‎ ‎（2）由AD=AC得∠ACD=∠ADC，设∠DAC=∠BAD=α，∠ACD=∠ADC=β，由内角和定理列出方程组求出α、β，由正弦定理求出AB、AD、AC，由余弦定理列出式子化简后求出CD的值．‎ ‎【解答】解：（1）由bsinA+bcosA=c以及正弦定理得，‎ sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），‎ 化简得，sinBsinA﹣sinAcosB=0，‎ 又sinA≠0，则sinB=cosB，即tanB=1，‎ 因为0＜B＜180°，所以B=45°；‎ ‎（2）由AD=AC得，∠ACD=∠ADC，‎ 设∠DAC=∠BAD=α，∠ACD=∠ADC=β，‎ 则，解得，‎ 在△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=105°‎ 由正弦定理得，，‎ 则，‎ 所以AB=，AD=，则AC=，‎ 由余弦定理得，CD2=AD2+AC2﹣2•AD•AC•cos∠DAC ‎=8+8﹣2×××=，‎ 所以CD=．‎ ‎　‎ ‎18．某大学生从全校学生中随机选取100名统计他们的鞋码大小，得到如下数据：‎ 鞋码 ‎ ‎35 ‎ ‎ 36‎ ‎ 37‎ ‎ 38‎ ‎39 ‎ ‎ 40‎ ‎41 ‎ ‎42 ‎ ‎ 43‎ ‎ 44‎ ‎ 合计 男生 ‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 3‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 2‎ ‎ 55‎ ‎ 女生 ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 12‎ ‎ 9‎ ‎ 9‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎ 1‎ ‎ 45‎ ‎（1）某鞋店计划采购某种款式的女鞋1000双，则其中38号鞋应有多少双？‎ ‎（2）完成频率分布直方图，并估计该校学生的平均鞋码．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）设所求女鞋的数量为x，利用比例关系求出x的值即可；‎ ‎（2）根据表中数据画出频率分布直方图，计算这组数据的平均数．‎ ‎【解答】解：（1）设所求女鞋数量为x，‎ 则=，‎ 解得x=200；‎ 即1000双女鞋中，38号鞋应有200双；…6分 ‎（2）根据表中数据画出频率分布直方图，如下 由频率分布直方图，估计该校学生的平均鞋码为 ‎35.5×0.1+37.5×0.3+39.5×0.3+41.5×0.2+43.5×0.1=39.3…12分．‎ ‎　‎ ‎19．如图1，ABCD为长方形，AB=3，AD=，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE=CF=1，DE与AF相交于点G，将三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如图2．‎ ‎（1）求证：平面D'EG⊥ABCF平面；‎ ‎（2）求三棱锥D'﹣BEG的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）在矩形中由已知可得，△ADF∽△EAD，则∠DAF=∠AED，得到AF⊥DE，在图2中可得AF⊥D′G，AF⊥GE，再由线面垂直的判定可得AF⊥平面D′GE，进一步得到平面D'EG⊥ABCF平面；‎ ‎（2）由（1）可得D′E⊥平面ABCF，把三棱锥D'﹣BEG的体积转化为2倍D'﹣AEG的体积求解．‎ ‎【解答】（1）证明：在图1的直角三角形ADF和直角三角形EAD中，‎ ‎∵=，∴△ADF∽△EAD，则∠DAF=∠AED，‎ ‎∵∠DAF+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，则AF⊥DE；‎ 在图2中，∴AF⊥D′G，AF⊥GE，‎ ‎∵D′G∩GE=G，∴AF⊥平面D′GE，‎ ‎∵AF⊂平面ABCF，∴平面D'EG⊥ABCF平面；‎ ‎（2）解：∵，AE=1，D′E=1，‎ ‎∴D′E⊥AE，‎ 由（1）可知，AF⊥平面D′EG，∴AF⊥D′E，‎ ‎∵AE∩AF=A，∴D′E⊥平面ABCF，‎ 又EG=ED=，∴AG=．‎ ‎∴，‎ ‎∴VD′﹣BEG=2VD′﹣AEG=．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆B：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，过原点O作两条不同的直线l1，l2与圆B分别交于P，Q．‎ ‎（1）过圆心B作BA⊥OP，BC⊥OQ，垂足分别为点A，C，求过四点O，A，B，C的圆E的方程，并判断圆B与圆E的位置关系；‎ ‎（2）若l1与l2的倾斜角互补，试用l1的倾斜角α表示△OPQ的面积，并求其最大值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出圆心坐标与半径，可得圆E的方程，即可得出结论；‎ ‎（2）求出直线与圆相交的弦长，可得面积，利用三角函数知识得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）过四点O，A，B，C的圆E的方程是以OB为直径的圆，圆E 的圆心为（，），半径为，‎ ‎∴圆E的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2=．‎ ‎∵圆心距===，‎ ‎∴圆B与圆E相内切；‎ ‎（2）设l1的方程为y=xtanα，圆心B（1，1）到直线l1的距离d=，‎ 直线l1与圆相交的弦长m=，‎ 以﹣tanα代替tanα，可得直线l2与圆相交的弦长n=2，‎ ‎∴S△OPQ==2|||sin2α|=|sin4α|≤1，‎ 当且仅当α=，，，时等号成立，故最大值为1．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R，且f'（2）=．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：与曲线y=lnx（x＞1）和y=ex都相切的直线有且只有一条．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）设直线l和曲线y=lnx，（x＞1），y=ex都相切，切点是（x1，y1），（x2，y2），得到lnx1=，（x1＞1）有唯一解，从而证出结论．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=+，由f′（2）=，解得：a=1，‎ f′（x）=+=，‎ ‎∵x＞0且x≠1，∴f′（x）＞0，‎ ‎∴函数f（x）的递增区间是（0，1）和（1，+∞）；‎ ‎（2）证明：设直线l和曲线y=lnx，（x＞1），‎ y=ex都相切，切点是（x1，y1），（x2，y2），‎ ‎∵y′=，∴y′=，‎ ‎∴曲线y=lnx在x=x1处的曲线方程是y﹣lnx1=（x﹣x1），‎ 即y=x+lnx1﹣1，①，‎ ‎∵y′=，∴=，∴x2=﹣lnx1，‎ ‎∴直线l也是y﹣=（x+lnx1），‎ 即y=x++②，‎ 由①②得lnx1﹣1=+，‎ ‎∴lnx1=，x1＞1‎ 由（1）得，f（x）=lnx﹣在（1，+∞）递增，‎ 又f（e）=lne﹣=﹣＜0，f（e2）=＞0，‎ 根据零点存在定理得方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，‎ 即方程lnx1=，x1＞1有唯一的解．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：参数方程与极坐标系]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）若C1与C2只有一个公共点，求实数m的值；‎ ‎（2）若θ=与C1交于点A（异于极点），θ=与C1交于点B（异于极点），与C2交于点C，若△ABC的面积为3，求实数m（m＜0）的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）将两个方程都化为普通方程，C1与C2只有一个公共点，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值；‎ ‎（2）求|OA|，|OB|，|OC|，利用△ABC的面积为3，即可求实数m（m＜0）的值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；‎ 曲线C2的参数方程为（t为参数），消去t可得y=（x﹣m）．‎ ‎∵C1与C2只有一个公共点，‎ ‎∴直线与圆相切，‎ ‎∴=2，∴m=2±；‎ ‎（2）θ=与C1交于点A（异于极点），|OA|=2，θ=与C1交于点B（异于极点），|OB|=2，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=，θ=，|OC|=m，‎ ‎∴S△ABC=（2﹣m）=3，∴m=﹣2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）对于任意x∈R都有a（x+3）≥f（x）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）对于任意x∈R都有a（x+3）≥f（x）成立，数形结合求实数a 的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）x≤﹣2时，x﹣4≤1，得x≤5，∴x≤﹣2；‎ ‎﹣2＜x＜1时，3x≤1，得x≤，∴﹣2＜x≤；‎ x≥1时，﹣x+4≤1，得x≥3，∴x≥3，‎ 综上所述，不等式的解集是{x|x或x≥3}；‎ ‎（2）函数f（x）的图象如图所示，‎ ‎∵y=a（x+3）过（﹣3，0），且在函数y=f（x）的图象的上方，过（﹣3，0），（1，3）的斜率为，‎ ‎∴≤a≤1．‎ ‎　‎ ‎2017年3月1日