2018-2019学年江西省宜春市上高二中高二下学期第二次月考数学（文)试题 解析版

2018-2019学年江西省宜春市上高二中高二下学期第二次月考数学（文)试题 解析版

江西省宜春市上高二中2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，，则在复平面上复数对应的点位于( )‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），‎ 位于第四象限，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．‎ ‎2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（ ）‎ A．三个内角都不大于60°‎ B．三个内角至多有一个大于60°‎ C．三个内角都大于60°‎ D．三个内角至多有两个大于60°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°。‎ ‎【详解】‎ ‎∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，‎ ‎∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 反证法即是通过命题的反面对错判断正面问题的对错，反面则是假设原命题不成立。‎ ‎3．函数的单调减区间是（ ）‎ A．（0，1） B．（1，+∞） C．（-∞，1） D．（-1，1）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ 令，解得，故减区间为：.‎ 故选A.‎ ‎4．已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知表格得：，，‎ 由于线性回归直线恒过样本中心点，所以有：，解得：，‎ 所以线性回归方程，‎ 由得：解得：，‎ 由于，‎ 所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.‎ 故选C.‎ 考点：线性回归．‎ ‎5．某工科院校对A、B两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：‎ 专业A 专业B 合计 女生 ‎12‎ 男生 ‎46‎ ‎84‎ 合计 ‎50‎ ‎100‎ 如果认为工科院校中“性别”与“专业”有关，那么犯错误的概率不会超过（ ）‎ 注：‎ P（x2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ A．0.005 B．0.01 C．0.025 D．0.05‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据联表中的数据，与临界值比较，即可得到结论。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，填写2×2列联表如下； 得到以下表格：‎ 专业A 专业B 合计 女生 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 男生 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 计算；且4.762＞3.841，‎ 所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过0.05.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 此类题首先把表格补齐，然后根据表格数据代入已知的方程求出值与标准值进行比较即可，属于较易题目。‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（ ）‎ A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθ C．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由（为参数）得曲线普通方程为，‎ ‎ 又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D．‎ ‎7．已知，观察下列算式：；，…；若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎,所以有,,选C.‎ 考点：1.对数的基本计算；2.对数的换底公式.‎ ‎8．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx-cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（ ）‎ A．在直线y=-3x上 B．在直线y=3x上 C．在直线y=-4x上 D．在直线y=4x上 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，‎ 因此，故M（x0，f（x0））在直线上．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法，解答的关键是函数值满足的规律，属于中档题．‎ ‎9．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依据题设构造函数，则，因 ‎，故，则函数在上单调递减，又原不等式可化为且，故，则，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是能观察和构造出函数，然后运用导数中的求导法则进行求导，进而借助题设条件进行判断其单调性，从而将已知不等式进行等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解。‎ ‎10．若函数在x＝2处有极大值，则常数c为（ ）‎ A．2 B．6 C．2或6 D．-2或-6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，则，求出c值。然后再代回去检验函数的导数在处左侧为正数，右侧为负数。因为满足这个条件才能说在处取得极大值。‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，它的导数为，‎ 由题意知，在x＝2处的导数值为，∴c＝6，或c＝2，‎ 又函数在x＝2处有极大值，故导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.‎ 当c＝2时，，不满足导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.‎ 当c＝6时，，‎ 满足导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.故c＝6.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 函数在处取得极值的充要条件是：1） 2)导函数在处两端异号。‎ 所以此类题先求，再判断导函数在处是否异号即可。‎ ‎11．若函数在上单调递增，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：对恒成立，‎ 故，即恒成立，‎ 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．‎ ‎【考点】三角变换及导数的应用 ‎【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.‎ 视频 ‎12．设f（x）＝|lnx|，若函数g（x）＝f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．（0，） B．（，e） C．（，） D．（0，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数g（x）＝f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点等价于|lnx|-ax＝0在区间（0，4）上有三个不同的解，分离参数后等价于函数图像有三个交点，通过的图像较容易求处实数a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎∵g（x）＝f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，‎ ‎∴|lnx|-ax＝0在区间（0，4）上有三个不同的解，‎ 令；‎ 则当0＜x＜1时，的值域为（0，+∞）；‎ 当1≤x＜4时，在[1，e]上是增函数，，在[e，4）上是减函数，‎ ‎；故当时，有三个不同的解.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 几个零点表示函数与轴有几个交点或者表示方程有几个根。然后再分离参数比较参数和分离出的函数值域关系进行解题即可，分离参数和分类讨论是我们求解导数题目常用两种方法，注意辨析。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁 没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.‎ ‎【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.‎ ‎14．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设该长方体的宽是米，由题意知，其长是米，高是米，则该长方体的体积，由，得到，且当时，；当时，，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值.所以该长方体体积最大值是.故答案为：.‎ 考点：（1）导数在最值中的应用；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎15．已知f（x）为奇函数，当x≤0时，，则曲线y＝f（x）在点（1，-4）处的切线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据函数的奇偶性，求得，再根据导数的几何意义，即可求解曲线在点处的切线方程，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，则，则.‎ 又由函数是奇函数，所以，即，‎ 则，所以，且，‎ 由直线的点斜式方程可知，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．若过定点（0，-1）的直线与曲线相交不同两点A，B，则直线的斜率的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l:y=kx-1,转化为有两个不同的根，分离，求导求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 设直线l:y=kx-1,则kx-1=得 令g(x)=lnx+,(x)=‎ x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.‎ ‎（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.‎ ‎【答案】(1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由题意有，‎ 得，‎ x＋y＝4，‎ 直线l的普通方程为x＋y－4＝0.‎ 因为ρ＝4sin 所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，‎ 两边同时乘以得，‎ ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，‎ 因为，‎ 所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. ‎ ‎(2)∵原点O到直线l的距离 ‎ 直线l过圆C的圆心(，1)，‎ ‎∴|MN|＝2r＝4，‎ 所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.‎ ‎18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：‎ 年份x ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 储蓄存款y（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， 得到下表2：‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x，y的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）t=x﹣2010，z=y﹣5，代入z=1.2t﹣1.4得到：y﹣5=1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ），代入得到：‎ ‎，即 ‎，‎ ‎ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎19．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ‎＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取BC中点E，连结EN，EM。易得四边形ABEM是平行四边形，进而平面NEM∥平面PAB，∴MN∥平面PAB.（2）设AC中点F，则VN-BCM＝。求出S△BCM面积，算S△BCM面积时高时构造一个等高的△MEG ，NF＝PA＝2，带入即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ‎∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，‎ ‎∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，‎ ‎∴BE＝BC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF＝PA＝2，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，‎ ‎∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，‎ 又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝，‎ ‎∴S△BCM＝×BC×h＝×4×＝2，‎ ‎∴四面体N-BCM的体积VN-BCM＝.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）证明线面平行两种方法：1）先证线线平行，线属于面，则线面平行；2）先证面面平行，线属于一个面，则线平行于另一个面。此题两种方法都行（2）记住三棱锥体积公式，然后找到S和h即可。‎ ‎20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.‎ 试题解析：解：（1）由题意知，‎ ‎.又双曲线的焦点坐标为，，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）若直线的倾斜角为，则，‎ 当直线的倾斜角不为时，直线可设为，‎ ‎，由 设，，‎ ‎，，综上所述：范围为.‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）令，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论和两种情况；（2）由 成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）此函数的定义域为，‎ ‎（1）当时， 在上单调递增， ‎ ‎（2）当时， 单调递减， 单调增 综上所述：当时，在上单调递增 当时， 单调递减， 单调递增.‎ ‎（2）由（Ⅰ）知 恒成立，则只需恒成立，‎ 则 ‎， ‎ 令则只需 则 单调递减，‎ 单调递增， ‎ 即的最大整数为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；K^S*5U.C#‎ ‎（Ⅱ）设，证明：对任意，。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：的定义域为，。‎ 当时，，故在单调递增；‎ 当时，，故在单调递减；‎ 当时，令，解得。由于在上单调递减，故当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨假设．由于，故在单调递减。‎ ‎∴等价于。‎ 即。‎ 令，则。‎ 于是。‎ 从而在单调递减，故，‎ 即，故对任意。‎ 考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力。本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证。‎