2018-2019学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

四川省雅安中学高二年级理科半期考试卷 考试时间：120分钟 满分150分 ‎ 一、选择题（每题5分共60分）‎ ‎1．= ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎3.设是可导函数，且，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎4．已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为( )‎ A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)‎ ‎ ‎ ‎5．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是( 　　)‎ A．y=3sin x B． y=x3－15x C．y=(x－3)ex D．y=ln x－x ‎6．双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、已知四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为 ( ).‎ A B、 C D ‎8．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ A．． B． C． D ‎9．已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是( )‎ A． B． C． D． ‎11．已知椭圆Γ： 的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎12.设点分别是函数和图象上的点，，若直线轴，则两点间距离的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13、若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为 ．‎ ‎14、在正方体中，直线与平面 所成的角为 ‎ ‎15．已知P为椭圆一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为___ _____．‎ ‎16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，记抛物线在A,B两点处的切线的交点为P, 则面积的最小值为 .‎ 三．解答题（17题10分 ； 其余各题都是12分；共70分）‎ ‎17、已知函数R）（10分）.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值； ‎ ‎18、已知椭圆及直线： ．‎ ‎（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当m=3时，求直线被椭圆截得的弦长；‎ ‎19、在如图所示的多面体中，，，‎ ‎.‎ ‎（1）请在线段上找到一点，使得直线，并证明；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎20、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．‎ ‎ ‎ ‎21、（本题满分12分）已知函数．[]‎ ‎（1）若，求函数的极小值；‎ ‎（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？‎ ‎[]‎ ‎22、（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）讨论的单调性；‎ ‎ （2）若在定义域内有两个极值点，求证：.‎ ‎ 四川省雅安中学 ‎ ---------高二年级理科半期考试卷答案 考试时间：120分钟 满分150分 ‎ 一、选择题（每题5分共60分）‎ ‎1, D; 2 C;3. 4． B; 5．C;6． B ; ‎ ‎7、C ;8.A;9． D ;10． A;11．D;12.B;‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13、若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为 -1 ．‎ ‎14、在正方体中，直线与平面 ‎ 所成的角为.30° ‎ ‎15．已知P为椭圆一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ‎16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，记抛物线在A,B两点处的切线的交点为P,则面积的最小值为 4 .‎ 三．解答题（17题10分 ； 其余各题都是12分；共70分）‎ ‎17、已知函数R）（10分）.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值； ‎ 解析（1）函数1‎ 所以又曲线处的切线与直线平行，所以 ‎ ‎（2）令 当x变化时，的变化情况如下表：‎ 由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎+‎ ‎ ‎ ‎—‎ 极大值 所以处取得极大值， ‎ ‎18．已知椭圆及直线： ．‎ ‎（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求直线被此椭圆截得的弦长为时的值；‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线与椭圆有交点，转化为有解，二次方程有解判别式大于等于0即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到，由韦达定理代入，得到关于m的方程，解出即可。‎ ‎（1）由消去，并整理得，①‎ ‎．‎ ‎∵直线与椭圆有公共点，‎ ‎∴，据此可解的，‎ 故所求实数的取值范围为．‎ ‎（2）设直线与椭圆的交点为， ，‎ 由①得： ， ，‎ 故 ，当时，直线被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ 点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，直线和圆一般是应用数形结合的方式；直线和椭圆，双曲线，一般是从数的角度来说明。联立得方程，方程的解的个数就是直线与曲线的交点个数。再就是弦长公式的应用，注意和韦达定理结合。‎ ‎19在如图所示的多面体中，，，.‎ ‎（1）请在线段上找到一点，使得直线，并证明；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎ 解法二：（1）由已知⊥平面，⊥平面，∴， ‎ ‎ 设为线段的中点，是线段的中点， 连接 ，则，∴， ‎ ‎ ∴四边形是平行四边形，∴， ‎ ‎ 由平面内，平面，平面 ‎（2）由已知条件可知即为在平面上的射影，设所求的二面角的大小为，则， ‎ 易求得，，∴，‎ 而，∴，且， ∴‎ ‎20、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．‎ 解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，‎ 所以＝1，即p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，‎ 设A，B.‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为－，‎ 所以·＝－，化简得t2＝32.‎ 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ 联立方程组消去x得ky2－4y＋4b＝0.‎ 由根与系数的关系得yAyB＝，‎ 因为直线OA，OB的斜率之积为－，‎ 所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.‎ 即·＋2yAyB＝0，‎ 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.‎ 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，‎ 所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．‎ 综合①②可知，直线AB过定点(8,0)．‎ ‎21已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的极小值；‎ ‎（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？‎ ‎【详解】（1）定义域为，由已知得， ‎ 则当时，在上是减函数，‎ 当时，在上是增函数， 故函数的极小值为． ‎ ‎（2）若存在，设，‎ 则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，‎ 设，‎ 则函数的图象与轴有三个不同交点，‎ 即在有两个不同的零点．‎ 显然在上至多只有一个零点.‎ 则函数的图象与轴至多有两个不同交点，则这样的不存在.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）讨论的单调性；‎ ‎ （2）若在定义域内有两个极值点，求证：.[]‎