2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试理科数学试卷 命题人：周俊武 审题人：霍子伟 ‎ 第I卷 （本卷共计60 分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 下列说法中正确的是 A. “”是“函数是奇函数”的必要条件 B. 若，则 C. 若为假命题，则，均为假命题 ‎ D. 命题“若，则”的否命题是“若，则” ‎ ‎3．已知向量，若，则实数m的值为 （ ）‎ A．0 B．2 C． D．2或 ‎ ‎4．为了得到函数的图像,可以将函数 ‎ 的图像（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎5.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩 ‎ 依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数 ‎ 的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A．6 B．10 C．91 D．92‎ ‎6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2‎ ‎ 的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 ‎ 几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知是等比数列，，则公比=( )‎ ‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎8. 若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为 ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9.函数满足，那么函数的图象大致是 ‎10.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方 ‎ 法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别 ‎ 在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500‎ ‎ 在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的奇函数满足 ，当时， ，则函数 在区间上所有零点之和为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 （本卷共计90 分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．=___________。 ‎ ‎14．在区间上随机任取两个数，则满足的概率等于 ．‎ ‎15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在 ‎ ‎ 鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球表面积为 ．‎ ‎16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分） 已知数列的前项 .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ，求证： .‎ ‎18. （本小题满分12分）已知.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，若，，求的值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎130‎ ‎150‎ 频率/组距 分数 ‎19题图 ‎ 某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求分数在内的频率；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为6的样本，再从该样本中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆：的短轴长为，离心率为，圆的圆心 在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知二次函数 ‎ ‎ （Ⅰ）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．（说明：对于区间，称为区间长度）‎ 广东仲元中学2017学年第一学期期中考试高二年级理科数学试卷答案 一、选择题 ‎ 1-5: BDCDB 6-10:ACACA 11-12：BD 二、填空题 ‎ 13. 1 14. 15. 16. 5‎ 三、解答题 ‎17. (1) 当时，,……………1分 ‎ 又由，则.………3分 ‎ 符合 ……………4分 综上.……………5分 ‎(2)由.……………7分 ‎.得证.………10分 ‎18.解：（Ⅰ）‎ ‎ ……3分 ‎∴由（）, 得……5分 即函数的单调递增区间为（） ……6分 ‎（Ⅱ）由得， ∴，即，……9分 根据正弦定理，由，得，故， ……12分 ‎19．解：（Ⅰ）分数在[120，130)内的频率为 ‎ 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3。……………4分 ‎（Ⅱ）依题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15=9人，‎ ‎ [120,130)分数段的人数为：60×0.3=18人 ………………………5分 用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d； ……………………………7分 ‎ 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有： ‎ ‎(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、(m，d)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(n，d)、(a，b) 、(a，c) 、(a，d) 、(b，c) 、(b，d) 、(c，d).共15种. …9分 事件A包含的基本事件有： (m，n)、(m，a)、(m，b) 、(m，c)、(m，d)、 (n，a)、‎ ‎(n，b)、(n，c)、(n，d)共9种。……11分 P(A)……………………………………12分 ‎20解：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 ……………2分 又且 ‎∴且 ‎ ‎∴四边形为平行四边形， ………4分 ‎∴, 即． ‎ 又∵平面, 面, ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∵, ∴, ………………6分 ‎（Ⅱ）∵平面，平面,‎ ‎∴平面平面 ‎∵，平面平面，平面，‎ ‎∴平面.………………8分 三棱锥的体积 ………………10分 ‎……12分 ‎21.解：（1）由得：，∵，∴，………2分 ‎∵，∴，解得：，……………4分 ‎∴椭圆的标准方程为： ………………5分 ‎（2）因为直线与圆相切，…………6分 ‎∴ ………………7分 整理得：，………………8分 同理可得：，‎ 所以，为方程的两个根………………10分 ‎∴，又∵在椭圆上，∴‎ ‎∴，故是定值为 ………………12分 ‎22. 解：（1） ∵二次函数的对称轴是 ‎ ∴函数在区间上单调递减 ……1分 ‎ ∴要函数在区间上存在零点须满足 ……2分 ‎ 即 解得 ……4分 ‎（2）当时，‎ 的值域为，即 ‎∴‎ ‎∴ ∴或 ……6分 当时，即时，‎ 的值域为，即 ‎∴‎ ‎∴ ∴，经检验.……9分 当时，即时，‎ 的值域为，即 ‎∴ ∴ 经检验不合题意，舍去. ……11分 综上所述，存在常数，，满足题意.……12分