江苏省包场高级中学2021届高三新高考全国卷第一次适应性考试数学试卷

江苏省包场高级中学2021届高三新高考全国卷第一次适应性考试数学试卷

包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A＝{(x，y)|x－y＋1＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝5}，则A∩B＝（ ）‎ A．{(1，2)} B．{(－2，－1)}‎ C．{(1，2)，(－2，－1)} D．Ø ‎2．已知a＋bi(a，b∈R)是(1＋i)2＋的共轭复数，则2a＋b＝（ ）‎ A．3 B．－3‎ C．－1 D．1‎ ‎3．设向量＝(1，－1)，＝(k－1，2k＋2)，且，则k＝（ ）‎ A．－5 B．5‎ C．3 D．－3‎ ‎4．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10 K，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius公式：‎ 式中A为碰撞频率因子(A＞0)，e为自然对数的底数，Ea为活化能，R为气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2．则 A． B．‎ C． D．‎ ‎ 5．的展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为（ ）‎ A．405 B．－313‎ C．223 D．146‎ ‎ 6．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则命题p：“V1，V2相等”是命题q：“S1，S2总相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C：的离心率为，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（ ）‎ A．2 B．‎ C． D．1‎ ‎8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．‎ ‎9．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．函数是圆O的一个太极函数 B．圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C．函数是圆O的一个太极函数 D．函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件 ‎10．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图像关于点(，0)对称，则下列结论正确的是 A．函数f(x)的图像关于直线对称 B．当时，函数f(x)的最小值为－‎ C．若，则sin4α－cos4α的值为 D．要得到函数f(x)的图像，只需要将g(x)＝cos 2x的图像向右平移个单位 ‎11．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则 A．三棱锥D－BEF的体积为6‎ B．直线PB与直线DF垂直 C．平面DEF截三棱锥P－ABC所得的截面面积为12‎ D．点P与点A到平面BDE的距离相等 ‎12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．则下列结论正确的是 A．当x＜0时，f(x)＝－ex(x＋1)‎ B．函数f(x)在R上有且仅有三个零点 C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f（2）‎ D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2‎ 三、填空题：‎ ‎13．盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次．则取得小球标号最大值是3的取法有________种．（用数字作答）‎ ‎14．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．‎ ‎15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线在第一象限的一点，且点P到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点P的坐标为________；O为坐标原点，PQ⊥OP交抛物线的准线于点Q，则三角形OPQ内切圆的面积为________．‎ ‎16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，-3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L､S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均 与圆Q外切．已知直线l过点O ．‎ ‎（1）若直线l与圆L､圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为________；‎ ‎（2）若直线l截圆L､圆S､圆Q所得弦长均等于d，则d=________．‎ 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为．已知，，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数k，使得且？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．‎ 条件①：的面积S=4且B>A；‎ 条件②：．‎ 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎19．如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体P－ABC，如图2所示．已知．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）若Q是线段AP上的点，且，求二面角Q－BC－A的余弦值．‎ ‎20．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，‎ ‎(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；‎ 男 女 总计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 总计 ‎100‎ ‎（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为X，求X的数学期望．‎ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．‎ 临界值表：‎ P(χ2≥x0)‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ x0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21．如图所示，椭圆E：的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知函数，，，．‎ ‎（1）设，求在上的最大值；‎ ‎（2）设，若的极大值恒小于0，求证：．‎ 包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试答案 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．A 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．‎ ‎9．AC 10．BD 11．ACD 12．BD 三、填空题：‎ ‎13．19‎ ‎14．若a＞b，a＜0且b＜0，则＜．（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b．）‎ ‎15．（4，2） （30－20）π ‎16．3，‎ 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（1）设数列的为d，在数列中，‎ 又因为，所以 从而，所以 由得：‎ 因为，设数列的公比为 所以，所以 ‎（2）由（1）知：‎ 所以，整理得，解得 又因为 所以，即，解得 所以 ‎18．解：（1）在中，由余弦定理知：，‎ 所以，所以 又由正弦定理知：，得 所以 即：‎ 所以 因为，所以，所以 又因为，所以 ‎（2）若选择条件①‎ 因为，所以 由余弦定理知：‎ 所以 由，解得：或 因为，所以，所以，所以 在中 所以 若选择条件②：‎ 因为，所以 又因为 由正弦定理知：，所以 在中，由余弦定理知：‎ 解得：‎ ‎19．在三棱锥P－ABC中，取AC的中点O，连接PO，BO得到PBO，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴PA＝PC，PO⊥AC，又∵DC＝5，AC＝6，‎ ‎∴OC＝3，PO＝OB＝4，又∵PB＝4，∴PO2＋OB2＝PB2，‎ ‎∴PO⊥OB，又∵PO⊥OC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．‎ ‎∵AB＝BC，O为AC中点，∴OB⊥OC，∴OB，OC，OP两两垂直，‎ ‎∴以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，‎ 则B（4，0，0），C（0，3，0），P（0，0，4），A（0，－3，0），‎ 设点Q（x1，y1，z1），由，得Q（0，－2，），‎ ‎∴＝（－4，3，0），，‎ 设平面BCQ的法向量＝（x，y，z），‎ ‎∴，即，解得，‎ 不妨取z＝15，则＝（3，4，15），又∵PO⊥平面ABC，‎ ‎∴＝（0，0，4）是平面ABC的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 设二面角Q－BC－A的平面角为θ，‎ 由图可知θ为锐角，∴cosθ＝，‎ ‎∴二面角Q－BC－A的余弦值为 ‎20．在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，‎ 后2个小矩形的面积之和为（0.04＋0.03）×5＝0.35，所以中位数位于区间（15，20]内，‎ 设直方图的面积平分线为15＋x，则0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得x＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为15＋2.5＝17.5（千元）‎ 补全的2×2列联表如下：‎ 男 女 总计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 提出假设，‎ H0：网购迷与性别没有关系，‎ 根据列联表中的数据，可以求得 ‎，‎ 因为当H0成立时，的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”，‎ 方法一：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝，‎ P（乙每次网购采用支付宝支付）＝，‎ X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴X的数学期望 方法二：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝，‎ P（乙每次网购采用支付宝支付）＝，‎ 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为Y，Z，‎ 由题意知Y～B（2，），Z～B（2，），‎ ‎∴E（Y）＝2×＝1，E（Z）＝2×＝‎ 又∵X＝Y＋Z，∴E（X）＝E（Y＋Z）＝E（Y）＋E（Z）＝，‎ ‎∴X的数学期望为．‎ ‎21．由题意知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b），‎ 又∵点P的坐标为（0，1），，‎ ‎∴，解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆E的方程为，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立，‎ 得（4k2＋1）x2＋8kx－4＝0，其判别式＝（8k）2＋16（4k2＋1）＞0，‎ ‎∴，，‎ 从而 ‎，‎ ‎∴当λ＝时，，‎ 即为定值．‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，‎ 此时，.‎ 综上所述，存在常数，使得为定值．‎ ‎（1）由已知，，‎ 当时，，当时，，‎ 从而的单调递增区间是，单调递减区间是，‎ 从而，.‎ ‎22．于是 当时，，所以 当时，，所以；‎ 综上所得.‎ ‎（2）依题意，‎ 则．‎ 因为存在极大值，则关于的方程有两个不等的正根，，‎ 不妨，则，则，且，‎ 设列设表如下：‎ ‎（0，）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而，，‎ 又，‎ 从而对恒成立，‎ 设，，‎ 则，‎ 所以在上递增，‎ 从而，‎ 所以，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 又，‎ 若，；‎ 若，；‎ 从而．‎ 即．‎