2017-2018学年湖南省长郡中学高二12月月考(第二次模块检测)数学(理)试题

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2017-2018学年湖南省长郡中学高二12月月考(第二次模块检测)数学(理)试题

长郡中学2017—2018学年度高二第一学期第二次模拟检测 数 学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数,则在复平面内对应的点位于( ) ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎2.角 的终边在第一象限,则“”是“ ”的 ( )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知向量,且与 互相垂直,则的值是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.2个男生和4个女生排成一排,其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有 ( )‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎6. 已知向量,则以为邻边的平行四边形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知点是抛物线的焦点,是抛物线上两点,,则中点的横坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图所示,在正方体中,,直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 由不等式组,确定的平面区域为,由不等式组确定的平面区域为,在内随机的取一点,则点落在区域内的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 设曲线为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总存在曲线上某点处的切线,使得,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 双曲线的左右焦点分别为是右支上一点,且,直线与圆相切,则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知实数满足,其中是自然对数的底数,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. .‎ ‎14.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为 .(用数字作答)‎ ‎15.若直线与曲线相切,则 .‎ ‎16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形,如三角形数,第 个三角形数为,记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:‎ 三角形数:;正方形数:;五边形数:;六边形数:,由此推测 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知命题,命题方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎(1)命题为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若命题“”为真,命题“”为假,求实数的取值范围.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎(1)若函数在处有极值,求的值;‎ ‎(2)若对于任意的在上单调递增,求的最小值.‎ ‎19.某工厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数),现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:‎ 对数据作了处理,相关统计量的值如下表:‎ ‎(1)根据所给数据,求关于的回归方程(提示:由已知,是的线性关系);‎ ‎(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的6件合格产品再任选3件,求恰好取得两件优等品的概率;‎ ‎(附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 )‎ ‎20. 如图,在三棱锥中,底面分别是的中点,在,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎21.已知椭圆的中心在原点焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求椭圆的焦点;‎ ‎(2)已知点在椭圆上,点是椭圆上不同于的两个动点,且满足:,试问:直线的斜率是否为定值?请说明理由.‎ ‎22.函数.‎ ‎(1)求函数的最大值;‎ ‎(2)对于任意,且,是否存在实数,使恒成立,若存在求出的范围,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)若正项数列满足,且数列的前项和为,试判断与的大小,并加以证明.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BDCDA 6-10:BCDDB 11、B 12:A ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)命题为真命题 由,得,即,‎ ‎(2)若命题为真命题,则,得,‎ 即,‎ 由题意,命题一真一假,则,真假:,‎ 或假真:‎ 所以或.‎ ‎18.解:(1)由 ,‎ 于是,根据题意设有,‎ 解得 或,‎ 当时,所以函数,所以函数有极值点;‎ 当时,所以函数,所以无极值点,‎ 所以 .‎ ‎(2)由题意知对任意的都成立,‎ 所以对任意的都成立,‎ 因为,所以在上为单调增函数或为常数函数,‎ ‎①当为常数函数时,;‎ ‎②当为增函数时,,‎ 即对任意都成立,‎ 又,所以时,,所以,‎ 所以的最小值为.‎ ‎19.解:(1)对,两边取自然对数得,‎ 令,得,‎ ‎,,‎ 得,故所求回归方程为.‎ ‎(2)由,解得,,即优等品有3件.‎ 记“恰好取得两件优等品”为事件,从件合格品中选出3件的方法数为,‎ 从件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种,则.‎ ‎20. 解:(1)由,‎ 是的中点,得,‎ 因为底面,所以,‎ 在中,,所以,‎ 因此,又因为,‎ 所以,‎ 则,即,因为底面,‎ 所以,又,‎ 又,所以平面.‎ ‎(2)假设满足条件的点,存在,‎ 并设,以为坐标原点,分别以为轴建立空间之间坐标系,‎ 则,‎ 由,所以,所以,‎ 设平面的法向量为,‎ 则 ,取,得,‎ 即,设平面的法向量为,‎ 则 ,取,得,‎ 即,‎ 由二面角的大小为,得,‎ 化简得,又,求得,于是满足条件的点存在,且.‎ ‎21.解:(1)因为椭圆的中心的原点,焦点在轴上,‎ 所以设椭圆标准方程为,‎ 因为椭圆离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,‎ 焦点为,所以,‎ 所以,解得,‎ 所以椭圆的标准方程.‎ ‎(2)由题意,直线与椭圆交点,‎ 所以,设,‎ 当时直线斜率之和为,‎ 设斜率为,则斜率为,‎ 的直线方程为,‎ 与椭圆联立得,‎ 所以,同理,‎ 所以,,‎ 直线的斜率为.‎ ‎22.解:(1)在,则,‎ 所以函数单调递减,函数单调递增,‎ 从而.‎ ‎(2)若恒成立,‎ 则,‎ 设函数,又,‎ 则只需函数在上为单调递减函数,‎ 即在上恒成立,‎ 则,记,则,从 在上单调递减,‎ 在上单调递增,故,‎ 则存在,使得不等式恒成立.‎ ‎(3)由,‎ 即,由,得,‎ 因为,‎ 由(1)知时,,‎ 故,‎ 所以 ‎
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