高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-2-4 平面与平面平行的性质

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-2-4 平面与平面平行的性质

一、选择题 ‎1．平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)‎ A．l∥β B．l⊂β C．l∥β或l⊂β D．l，β相交 ‎[答案]　C ‎[解析]　假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，又l∥α，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.‎ ‎2．过平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有(　　)‎ A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 ‎[答案]　D ‎[解析]　如图，在A‎1A和四边形BB1D1D之间的四条棱的中点F、E、G、H组成的平面中，有EF、FG、GH、HE、EG、HF共6条直线与平面BB1D1D平行，另一侧还有6条，共12条．故选D.‎ ‎3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无数 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.‎ ‎4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是(　　)‎ A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b 可能平行也可能相交，故A不正确；‎ 选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；‎ 选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；‎ 选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.‎ ‎5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C(　　)‎ A．不共面 B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．无论点A，B如何移动都共面 ‎[答案]　D ‎6．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：‎ ‎①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；‎ ‎②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；‎ ‎③m∥n，m∥α⇒n∥α；‎ ‎④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．① B．①④‎ C．④ D．③④‎ ‎[答案]　A ‎7．在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E、F分别是AC1、CB1的中点，P是C1B1的中点，则与平面PEF平行的三棱柱的棱的条数是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎[答案]　C ‎8．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝32，则△A′B′C′的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　如图∵α∥β，‎ ‎∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，‎ 且由＝＝知相似比为，‎ 又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，∴S△A′B′C′＝.‎ 二、填空题 ‎9．如右图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B‎1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．‎ ‎[答案]　平行四边形 ‎[解析]　∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎10．(2012－2013·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．‎ ‎[答案]　平行四边形 ‎[解析]　∵平面ABFE∥平面CDHG，‎ 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，‎ 平面EFGH∩平面CDHG＝HG，‎ ‎∴EF∥HG.‎ 同理EH∥FG，‎ ‎∴四边形EFGH的形状是平行四边形．‎ ‎11．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34.‎ ‎(1)若点S在平面α，β之间，则SC＝________；‎ ‎(2)若点S不在平面α，β之间，则SC＝________.‎ ‎[答案]　(1)16　(2)272‎ ‎[解析]　(1)如图a所示，因为AB∩CD＝S，所以AB，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.‎ 因为α∥β，所以AC∥BD.于是＝，即＝.‎ 所以SC＝＝＝16.‎ ‎(2)如图b所示，同理知AC∥BD，则＝，‎ 即＝，解得SC＝272.‎ ‎12．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F.已知AC＝‎15cm，DE＝‎5cm，AB:BC＝1:3，则AB、BC、EF的长分别为______、______、______.‎ ‎[答案]　cm　cm　‎‎15cm ‎[解析]　容易证明＝(1)‎ ＝(2)‎ 由(1)得＝，∴EF＝15，∴DF＝DE＋EF＝20，‎ 代入(2)得，＝，∴AB＝，‎ ‎∴BC＝AC－AB＝15－＝，‎ ‎∴AB、BC、EF的长分别为cm，cm,‎15cm.‎ 三、解答题 ‎13．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值．‎ ‎[分析]　由面面平行可得线线平行，再由等角定理可得对应角相等，从而三角形相似，利用相似三角形的比例关系找到面积比．‎ ‎[解析]　∵平面α∥平面ABC，‎ 平面PAB∩平面α＝A′B′，‎ 平面PAB∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.‎ ‎∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB，‎ ‎∴△A′B′C′∽△ABC.‎ 又∵PA′:A′A＝2:3，∴PA′:PA＝2:5.‎ ‎∴A′B′:AB＝2:5.‎ ‎∴S△A′B′C′S△ABC＝425，即＝.‎ ‎14．如图，在四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.‎ ‎[证明]　因为F为AB的中点，‎ CD＝2，AB＝4，AB∥CD，‎ 所以CD綊AF，‎ 因此四边形AFCD为平行四边形，‎ 所以AD∥FC.‎ 又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，‎ FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，‎ AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD‎1A1，‎ DD1⊂平面ADD‎1A1，‎ 所以平面ADD‎1A1∥平面FCC1.‎ 又EE1⊂平面ADD‎1A1，‎ EE1⊄平面FCC1，‎ 所以EE1∥平面FCC1.‎ ‎15．如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?‎ ‎[解析]　如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.‎ ‎∵EC＝2FB＝2，∴PE綊BF，‎ ‎∴四边形BFEP为平行四边形，‎ ‎∴PB∥EF.‎ 又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，‎ ‎∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.‎ 又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.‎ 又BQ⊂平面PBQ，‎ ‎∴BQ∥平面AEF.‎ 故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.‎ ‎16．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，E、F分别为PC、PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　取AD、BC的中点G、H，连接FG、HE.‎ ‎∵F、G为DP、DA的中点，∴FG∥PA.‎ ‎∵FG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB.‎ ‎∵AB∥CD，EF∥CD，∴EF∥AB.‎ 而EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.‎ ‎∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面PAB.‎ 又GH∥CD，∴GH∥EF.∴平面EFG即平面EFGH.‎ ‎∴平面EFGH∥平面PAB.‎ 又点Q∈平面ABCD，‎ ‎∴点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)．‎ ‎∴点Q∈GH.∴点Q在底面ABCD的中位线GH上．‎