数学理卷·2018届山东省淄博市淄川中学高二下学期学分认定（期末）考试（2017-07）

数学理卷·2018届山东省淄博市淄川中学高二下学期学分认定（期末）考试（2017-07）

2015 级第二学期学分认定考试 理科数学试卷 2017 年 7 月 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1．已知集合 A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则 A∪B（ ） A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1） 2．在复平面内，复数 g（x）满足 ，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．用三段论推理：“指数函数 y=ax 是增函数，因为 y=（ ）x 是指数函数，所以 y=（ ）x 是增函数”，你认为这个推理（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的 4．某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车 位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A．16 B．18 C．24 D． 32 5.已知随机变量ξ服从正态分布 N（3，σ2），P（ξ≤4）=0.842，则 P（ξ≤2）=（ ） A．0.842B．0.158C．0.421D．0.316 6.曲线 y=ex 在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A． e2 B．2e2 C．e2 D． e2 7．设 的展开式的二项式系数和为 64，则展开式中常数项为（ ） A．375 B．﹣375 C．15 D．﹣15 8．若函数 h（x）=2x﹣ + 在（1，+∞）上是增函数，则实数 k 的取值范围是（ ） A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，2] 8．设随机变量 X～B（10，0.8），则 D（2X+1）等于（ ） A．1.6 B．3.2 C．6.4 D．12.8 9．投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概 率为 0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0.784B．0.648C．0.343D．0.441 10．如右图中 y=3﹣x2 与 y=2x 阴影部分的面积是（ ） A． B．9﹣ C． D． 11．函数 f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2 在 x=1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ） A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在 12．若函数 f（x）=2x2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则 实数 k 的取值范围是（ ） A．[1，+∞） B．[1， ） C．[1，2） D．[ ，2） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非 q”同时为假命题，则 x＝________． 14．已知 2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，…，若 9+ =92× （a，b 为正整数）， 则 a+b= ． 15． 为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到 2 ×2 列联表： 理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 已知 P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到 K2＝50×（13×20－10×7）2 23×27×20×30 ≈4.844，则认为选修文理科与性别有关 系出错的可能性约为________. 16．已知函数 f（x）=x3+3ax2+3x+1，当 x ∈ [2，+∞），f（x）≥0 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本题满分 10 分) （选修 4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 t 为参 数）．若以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长． 18．(本题满分 12 分) 某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店 1 月份销售淡季中 5 天的日 营业额 y（单位：百元）与该地当日最低气温 x（单位：℃）的数据，如下表所示： x 3 6 7 9 10 y 12 10 8 8 7 （Ⅰ）判定 y 与 x 之间是正相关还是负相关，并求回归方程 = x+ （Ⅱ）若该地 1 月份某天的最低气温为 6℃，预测该店当日的营业额 （参考公式： = = ， = ﹣ ）． 19．(本题满分 12 分) 一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张， 编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期 望． 20. （本题满分 12 分） 已知函数 f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b ∈ R），其图象在点（1，f（1）） 处的切线方程为 x+y﹣3=0． （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间，并求出 f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值． 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知 点 A 的极坐标为 2，π 4 ，直线 l 的极坐标方程为ρcos θ－π 4 ＝a，且点 A 在直线 l 上． (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为 x＝1＋cos α， y＝sin α (α为参数)，试判断直线 l 与圆的位置关系． 22. (本小题满分 12 分) 设函数 f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1． （Ⅰ）当 a=1 时，求曲线 f（x）在 x=1 处的切线方程； （Ⅱ）当 a= 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数 g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若对于 ∀ x1 ∈ [1，2]， ∃x2 ∈ [0，1]，使 f（x1）≥g（x2）成立，求实数 b 的取值范围． 选择题：12 题×5 分=60 分（每题 5 分） 1．C．2．A．3．A．4.C．5．B．6．D．7.A．8.C 9 A 10、C 11.B 12.B 填空题：4 题×5 分=20 分（每题 5 分） 13. --2 14. 89 15. 5% 16.[﹣ ，+∞） 17.（10 分）【解答】解：（1）由 得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘 以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ， ∴x2+y2﹣x﹣y=0，即 ．------5 分 （2）将直线参数方程代入圆 C 的方程得：5t2﹣21t+20=0， ∴ ． ∴ ．----5 分 18.（12 分）【解答】解：（I）由散点图知：y 与 x 之间是负相关；…（2 分） 因为 n=5， =7， =9， （ ﹣5 ）=275﹣5×72=30； （xiyi﹣5 ）=294 ﹣5×7×9=﹣21． 所以 b=﹣0.7，…（4 分） = ﹣ =9﹣（﹣0.7）×7=13.9．…（6 分） 故回归方程为 y=﹣0.7x+13.9…（8 分） （Ⅱ）当 x=6 时，y=﹣0.7×6+13.9=9.7． 故预测该店当日的营业额约为 970 元…（12 分） 19．（12 分）【解】 (1)设“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A， 则 P(A)＝4 7＝6 7. 所以取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为6 7.-----4 分 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X＝1)＝4 7＝ 1 35，P(X＝2)＝4 7＝ 4 35， P(X＝3)＝4 7＝2 7，P(X＝4)＝4 7＝4 7. 所以随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 4 P 1 35 4 35 2 7 4 7 故随机变量 X 的数学期望 EX＝1× 1 35＋2× 4 35＋3×2 7＋4×4 7＝17 5 .------12 分 20.（12 分）【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1， ∵（1，f（1））在 x+y﹣3=0 上， ∴f（1）=2， ∵（1，2）在 y=f（x）上， ∴2= ﹣a+a2﹣1+b， 又 f′（1）=﹣1， ∴a2﹣2a+1=0， 解得 a=1，b= ．----6 分 （2）∵f（x）= x3﹣x2+ ， ∴f′（x）=x2﹣2x， 由 f′（x）=0 可知 x=0 和 x=2 是 f（x）的极值点，所以有 x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以 f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）． ∵f（0）= ，f（2）= ，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8， ∴在区间[﹣2，4]上的最大值为 8．---------------12 分 21.（12 分）(1)由点 A π 4 在直线ρcos π 4 ＝a 上，可得 a＝. 所以直线 l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y －2＝0.----------6 分 (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 (x－1)2＋y2＝1. 所以圆心为(1，0)，半径 r＝1， 则圆心到直线 l 的距离 d＝ 2 2<1，所以直线 l 与圆 C 相交．------6 分 22.（12 分）【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+∞）， （2 分） （Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2， ， ∴f′（1）=0，∴f（x）在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2（5 分） （Ⅱ） = （6 分） 令 f′（x）＜0，可得 0＜x＜1，或 x＞2；令 f'（x）＞0，可得 1＜x＜2 故当 时，函数 f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1）， （2，+∞）．（8 分） （Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）可知函数 f（x）在（1，2）上为增函数， ∴函数 f（x）在[1，2]上的最小值为 f（1）= （9 分） 若对于 ∀ x1 ∈ [1，2]， ∃ x2 ∈ [0，1]使 f（x1）≥g（x2）成立，等价于 g（x）在[0， 1]上的最小值不大于 f（x）在（0，e]上的最小值 （*） （10 分） 又 ，x ∈ [0，1] ①当 b＜0 时，g（x）在[0，1]上为增函数， 与（*） 矛盾 ②当 0≤b≤1 时， ，由 及 0≤b≤1 得， ③当 b＞1 时，g（x）在[0，1]上为减函数， ， 此时 b＞1（11 分） 综上，b 的取值范围是 （12 分） 【来源：全,品…中&高*考+网】