【数学】2019届一轮复习人教A版应用平面向量解决几何问题学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版应用平面向量解决几何问题学案（理）

专题8 应用平面向量解决几何问题 ‎【母题原题1】【2018天津，理8】‎ 如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 点在上，则，设，则：‎ ‎，即 据此可得：，且，‎ 由数量积的坐标运算法则可得：，‎ ‎，‎ 整理可得：，‎ 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．故选A．x /w ‎ ‎【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理13】‎ 在中，，，．若，，且，则的值为___________．‎ ‎【答案】学 ‎ ‎【考点】向量的数量积 ‎【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，理7】‎ 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，，∴，，，∴，故选B．‎ 考点：向量数量积 ‎【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，理14】‎ 在等腰梯形 中，已知，动点 和分别在线段和 上，且， 则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 当且仅当即时的最小值为．‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力．是思维能力与计算能力的综合体现． + + ‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的坐标运算．‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步：选基底，选用的基底最好已知向量的模和夹角．本题选取为基地，已知，，且两向量夹角为．x w 第二步：借助向量的加法、减法及数乘运算表示出解题需要的有关向量．本题中由于，利用定比分点公式表示，根据已知用 表示．‎ 第三步：利用题目所提供的条件（如向量的夹角、模或数量积等）列出向量所满足的要求．本题需要满足条件，借助的模和数量积解题．‎ 第四步：根据要求解方程，求出．‎ ‎【方法总结】‎ 1. 求向量的模：（求模必先求模方，得出模方勿忘开方）‎ 根据公式，求出模的平方，然后开方得出向量的模，同样题目中有时给出某向量的模的大小时，也是利用向量的模的平方去解题的．‎ 2. 求两个向量的夹角：（点积比模积）‎ 利用向量夹角公式，使用本公式求夹角时，要注意利用数量积与模的关系． ‎ 3. 求数量积： ‎ 确定应使用的一组基地，要求已知基地的模和夹角，利用加、减、数乘运算表示向量，然后利用数量积运算进行计算．‎ 4. 向量的坐标运算 建立适当的平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标运算公式进行计算．‎ 有关向量的坐标运算公式：‎ 设，‎ ‎（1） ‎ ‎（2） [： ‎ ‎（3） ‎ ‎（4） ‎ ‎（5）设向量的夹角为，则 ‎ ‎（6）非零向量 ‎（7） ‎ ‎1．【2018天津市南开中学高三第四次月考】如图，在中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，，则的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因三点共线，故，又，，所以，当且仅当时取等号 考点：向量与基本不等式 ‎2．【四川南充高级中学2018届高三考前模拟】已知平面向量，，当 时，的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 在OB上取点D，使得，‎ 在AB上有动点C，使（），‎ 则，‎ ‎ ．‎ 故选：C．x w ‎ 点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力．‎ ‎3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性】已知，，是平面向量，其中，，且与的夹角为，若，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 点睛：（1）本题主要考查平面向量的运算及数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力．(2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知条件设出向量，画出图形，再解答．其二是找到的终点的轨迹．‎ ‎4．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的 当三点共线时，点在之间时，取最小值，；‎ 当点在之间时，取最大值，，‎ 从而的的取值范围是，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力．x w ‎5．【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三冲刺诊断】已知向量则 A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量 所以 ，所以，‎ 本题选择A选项．‎ 点睛：（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．‎ ‎6．【河北省衡水中学2018届高三第十七次模】已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由可得点O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当C是的 ‎∴与的夹角为，‎ ‎∴的夹角为．‎ 又 ‎，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴的最小值为3，‎ ‎∴的最小值为．‎ 故选B．‎ 点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法 ‎(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式．‎ ‎(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．‎ ‎(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．‎ ‎7．【上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断】在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（ ）‎ A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 ‎【答案】A ‎8．【山东省聊城市2018届高三第一次模拟】在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则．‎ 设点P的坐标为，则，‎ 故 ‎，当且仅当时等号成立．‎ 所以的最小值为．选C．‎ ‎9．【广西南宁市2018届高三（上）9月摸底】已知O是△ABC内部一点，，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 点睛：此题是个中档题．本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知是内部一点， 为三角形的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．‎ ‎10．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是（ ）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】B 点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．‎ ‎11．【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，∴，‎ 且方向相同．∴，∴．选A．x w ‎12．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．‎ 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．‎ 由题意得，又，即为的中点，∴，‎ ‎∴，∴．又，即，解得．‎ 点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果．‎ ‎13．【（河北省衡水金卷一模）2018届高三毕业班模拟】已知在直角梯形中，，，若点在线段上，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：建立平面直角坐标系，把问题代数化，利用二次函数的图象与性质求范围即可．‎ 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，‎ ‎∴‎ 故选 点睛：处理平面向量问题常用手段有：（1）建立平面坐标系，转化为代数问题；（2）利用平面向量的几何意义即几何法处理问题；（3）利用基底思想处理问题．‎ ‎14．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测（三）】已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15．【福建省福州市2018届高三3月质量检测】如图，在平面四边形中，，，若，則____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】延长CB至E，使得，，‎ 由，∴DC，∴．‎