2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章 第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
几种常见圆的方程的设法
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
续 表
标准方程的设法
一般方程的设法
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
二、教材衍化
1．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案：A
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．
解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
所以圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案：(2，－3)
3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )
(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( )
(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.( )
(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系；
(3)不能正确确定圆心坐标．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆内，
所以(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1
0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，
所以＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
求圆的方程(多维探究)
角度一 已知不共线的三点，求圆的方程
(一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．
【解析】 法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得解得
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，
即＋y2＝.
法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为EB＝＝，
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
【答案】 ＋y2＝
角度二 已知两点及圆心所在直线，求圆的方程
(一题多解)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解】 法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.
由题意得解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
角度三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程
(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________．
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________．
【解析】 (1)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以圆的半径为.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1．(一题多解)(2020·陕西西安一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(
－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为( )
A．8 B．2
C．5 D．
解析：选D.法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以所以a＋b－2＝0，①
又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，②
由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为，故选D.
法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为.故选D.
2．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．
解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
所以圆心为，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋－3＝0，所以a＝－6.
所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝34
与圆有关的轨迹问题(师生共研)
已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，
所以C1M⊥OM，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解得x＝，因此0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
3．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得即或
故原方程表示两个半圆．
4．(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，
解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
5．(2020·河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|＋|的最大值为( )
A.＋2 B．＋4
C．2＋4 D．2＋2
解析：选C.取AB的中点D(2，－3)，则＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2.
所以|2|的最大值为2＋4.故选C.
6．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为________．
解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，所以直线x－y＋1＝0经过圆心，即－＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径为×＝3.
答案：3
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－
y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________________．
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2
9．(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．
解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
所以半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
所以d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
所以r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14. ①
由于所求圆与y轴相切，所以r2＝a2， ②
又因为所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
所以a－3b＝0， ③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心的坐标为，
半径r＝.
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，
所以Δ＝0，则E2＝4F. ①
圆心到直线y＝x的距离为d＝，
由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②
又圆心在直线x－3y＝0上，
所以D－3E＝0. ③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[综合题组练]
1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.－2 B．
C.－2 D．－2
解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故选C.
3．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．
解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，
所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.
答案：5－2
4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.则直线CD的方程为________，圆P的方程为________．
解析：由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
答案：x＋y－3＝0 (x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40
5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.
