数学理卷·2018届四川省射洪中学高二下学期入学考试（2017-02）

数学理卷·2018届四川省射洪中学高二下学期入学考试（2017-02）

‎】射洪中学高2015级高二下期入学考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：“”是命题：“与垂直”成立的（ ）‎ A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎2.射洪中学为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从高中、初中两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C． 按年级分层抽样 D．系统抽样 ‎3.圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D． 相离 ‎4.设射洪中学的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（，）‎ C.若该中学某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该中学某学生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎5.已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知实数满足不等式组，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若，，m∥β，n∥β，则α∥β； ‎ ‎③如果，，m，n是异面直线，那么n与α相交；‎ ‎④若α∩β＝m，n∥m，且，，则n∥α且n∥β.‎ 其中为真命题的是 (　　) ‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎8.柜子里有双不同的鞋，随机地取只，下列叙述错误的是（ ）‎ A．取出的鞋不成对的概率是 ‎ B．取出的鞋都是左脚的概率是 ‎ C. 取出的鞋都是同一只脚的概率是 ‎ D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是 ‎ 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应 填入的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.射洪中学随机抽查了本校个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以为组距将数据分为组，分别是，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）‎ A． B．1 C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题的否定是 ．‎ 14. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的 正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为 ．‎ ‎16.已知圆与直线，且直线上有唯一的一个点，使得过点作圆的两条切线互相垂直.设是直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点，，则的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.‎ （1） 求居民收入在的频率；‎ （2） 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数 及其众数；‎ （3） 为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则应在月收入为的人中抽取多少人？‎ 18. ‎（本小题满分12分）设命题p：点（1，1）在圆的内部；命题q：直线mx－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求的取值范围．‎ ‎19. （本小题满分12分）口袋中装有个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取个小球，取到小球的编号分别为.‎ （1） 在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；‎ （2） 求抽取的编号能使方程成立的概率.‎ 20. ‎（本小题满分12分）已知⊙，‎ 直线.‎ （1） 求证：直线与⊙恒有两个焦点；‎ （2） 若直线与⊙的两个不同交点分别为.求线段中点的轨迹方程，并求弦的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．‎ 22. ‎（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：外，且对C1上任意一点M，M到直线的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.‎ ‎（1）求曲线C1的方程；‎ ‎（2）设P(x0,y0)（x0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线y=-4上运动时，四点A，B，C，D的横坐标之积为定值.‎ 射洪中学高2015级高二下期入学考试数学试题（理）答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDC 6-10:DDDAB 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎16.【解析】根据圆的对称性知直线上的唯一点与圆心所在直线必与直线垂直，则所在直线的方程为，与直线联立求得，再根据对称性知过点的两条切线必与坐标轴垂直，；由题意，知取得最小值时，一定关于直线对称，如图所示，因此可设以点为圆心，以为半径的圆，即与圆内切时，的最小值即为，由相切条件易知.‎ 三、 解答题 17. ‎【解析】（1）居民收入在的频率为.‎ （2） 中位数为，‎ 平均数为，其众数.‎ （3） 在月收入为的人中抽取人.‎ ‎18.【解析】命题p，…………3分 命题q……………6分 ① p真q假时，；②p假q真时，.‎ 故m的取值范围为或………12分 ‎19.【解析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为，则基本事件有，共个.‎ 记“甲、乙两人成为好朋友”为事件，则包含的情况有，共个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率.‎ （2） 将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为，则基本事件有个.‎ 记“丙抽取的编号能使方程成立”为事件，当丙抽取的编号时，，∴分别为，当丙抽取的编号时，，∴为，当丙抽取的编号或时，方程不成立.综上，事件包含的基本事件有个，∴.‎ ‎（2）由题意知，设点为弦的中点，‎ 由（1）可知，点的轨迹方程是以为直径的圆为 ‎，由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小.‎ 弦心距，⊙的半径为，∴.‎ ‎21.【解析】(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，‎ 故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.‎ ‎(2) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设CF＝λ，0≤λ≤1.‎ 故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈，〉＝＝＝－.‎ 易知二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.‎ ‎22.【解析】（1）设M的坐标为，由已知得，‎ 易知圆上的点位于直线的上侧.于是，所以.‎ 化简得曲线的方程为.‎ ‎（2）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即.于是 整理得 ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 ‎②，联立直线与抛物线消去得：‎ ‎③‎ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 ‎ ④；同理可得 ⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 ‎.‎ 所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的横坐标之积为定值6400.‎