2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§4-4 解三角形（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§4-4 解三角形（试题部分）

‎§4.4　解三角形 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 正弦定 理与余 弦定理 ‎①理解正弦定理与余弦定理的推导过程;②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题 ‎2019课标全国Ⅱ,15,5分 正弦定理的应用 同角三角函数基本关系 ‎★★☆‎ ‎2018课标全国Ⅰ,16,5分 正弦定理与余弦定理的应用 三角形的面积公式 ‎2017课标全国Ⅰ,11,5分 正弦定理的应用 诱导公式,两角和的正弦公式 ‎2019课标全国Ⅰ,11,5分 正弦定理与余弦定理的应用 ‎—‎ 解三角 形及其 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 ‎2018课标全国Ⅲ,11,5分 解三角形及三角形的面积 ‎—‎ ‎★★★‎ ‎2019课标全国Ⅲ,18,12分 解三角形及三 角形的面积 二倍角公式及诱导公式 ‎2016课标全国Ⅱ,15,5分 解三角形 同角三角函数基本关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合法求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦定理与余弦定理 ‎1.(2020届四川成都摸底考试,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,‎2‎b-c),且m·n=0,则角A的大小为(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019河北衡水中学三调,7)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sin Bsin C=sin2A,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰非等边三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案　C　‎ ‎3.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=‎3‎,则c=(　　)‎ A.1 B.‎2‎ C.2 D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ 考点二　解三角形及其应用 答案　C　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=π‎4‎,BC边上的高等于‎1‎‎3‎BC,则sin A=(　　)‎ A.‎3‎‎10‎ B.‎10‎‎10‎ C.‎5‎‎5‎ D.‎‎3‎‎10‎‎10‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019广西南宁二中高三第一次月考,17)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,m=(cos B,2a-b),n=(cos C,c),且m∥n.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若c=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径.‎ 答案　(1)由m∥n得c·cos B=(2a-b)·cos C,‎ 由正弦定理得sin C·cos B=2sin A·cos C-sin B·cos C,(2分)‎ 得sin(B+C)=2sin A·cos C,‎ 在△ABC中,sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,‎ ‎∴cos C=‎1‎‎2‎,又C∈(0,π),∴C=π‎3‎.(4分)‎ ‎(2)由余弦定理知c2=1=a2+b2-2abcosπ‎3‎,‎ 即1=a2+b2-ab,‎ ‎∵a2+b2-ab=1≥2ab-ab,∴ab≤1,‎ 当且仅当a=b时,等号成立,(7分)‎ S△ABC=‎1‎‎2‎absin C=‎3‎‎4‎ab≤‎3‎‎4‎.(10分)‎ 当S△ABC=‎3‎‎4‎时,△ABC为等边三角形,‎ 设△ABC内切圆半径为r内,则S△ABC=‎1‎‎2‎(a+b+c)r内,‎ ‎∴‎3‎‎4‎=‎3‎‎2‎r内,‎ ‎∴r内=‎3‎‎6‎,即当△ABC的面积取得最大值‎3‎‎4‎时,△ABC内切圆半径为‎3‎‎6‎.(12分)‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　利用正、余弦定理判断三角形形状的方法 ‎1.(2020届皖南八校第一次联考,6)在△ABC中,cos2B‎2‎=a+c‎2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　)‎ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　B　‎ ‎2.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为(　　)‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案　D　‎ ‎3.给出下列命题:‎ ‎①若tan Atan B>1,则△ABC一定是钝角三角形;‎ ‎②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;‎ ‎③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形.‎ 以上正确命题的序号为　　　　. ‎ 答案　②③‎ 方法2　求解三角形实际问题的方法 ‎1.(2020届吉林第一中学第一次调研考试,7)某船从A处向东偏北30°方向航行2‎3‎千米到达B处,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为(　　)‎ A.‎3‎千米 B.2‎3‎千米 C.3千米 D.6千米 答案　B　‎ ‎2.(2019宁夏顶级名校联考,17)风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少.‎ 答案　在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,‎ 由正弦定理得APsin60°‎=‎100‎sin45°‎⇒AP=50‎6‎.‎ 在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100,∠QAB=45°,‎ ‎∴AQ=100‎2‎,又知∠PAQ=75°-45°=30°,‎ 则由余弦定理得PQ2=(50‎6‎)2+(100‎2‎)2-2×50‎6‎×100‎2‎·cos 30°=5 000,‎ ‎∴PQ=50‎2‎.‎ 因此,P,Q两棵树之间的距离为50‎2‎ m,A,P两棵树之间的距离为50‎6‎ m.‎ ‎3.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3‎3‎ km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.‎ ‎(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;‎ ‎(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.‎ 答案　(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3‎3‎,∠AOB=90°,所以∠A=60°.‎ 在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cos A=7,‎ 所以OM=‎7‎,所以cos∠AOM=OA‎2‎+OM‎2‎-AM‎2‎‎2OA·OM=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 在△OMN中,由MNsin30°‎=OMsin∠ONA得MN=‎7‎‎2‎‎7‎‎7‎×‎1‎‎2‎=‎7‎‎4‎.‎ 故点M,N之间的距离为‎7‎‎4‎ km.‎ ‎(2)设∠AOM=θ,0<θ<π‎3‎.‎ 在△OAM中,由OMsin∠OAB=OAsin∠OMA得OM=‎3‎‎3‎‎2sinθ+‎π‎3‎.‎ 在△OAN中,由ONsin∠OAB=OAsin∠ONA得ON=‎3‎‎3‎‎2sinθ+‎π‎2‎=‎3‎‎3‎‎2cosθ.‎ 所以S△OMN=‎1‎‎2‎OM·ON·sin∠MON ‎=‎1‎‎2‎·‎3‎‎3‎‎2sinθ+‎π‎3‎·‎3‎‎3‎‎2cosθ·‎‎1‎‎2‎ ‎=‎27‎‎16sinθ+‎π‎3‎cosθ=‎‎27‎‎8sinθcosθ+8‎3‎cos‎2‎θ ‎=‎27‎‎4sin2θ+4‎3‎cos2θ+4‎‎3‎=‎27‎‎8sin‎2θ+‎π‎3‎+4‎‎3‎,‎ 因为0<θ<π‎3‎,所以2θ+π‎3‎∈π‎3‎‎,π,‎ 所以当2θ+π‎3‎=π‎2‎,即θ=π‎12‎时,S△OMN取最小值,为‎27(2-‎3‎)‎‎4‎.‎ 所以设计∠AOM=π‎12‎时,△OMN的面积最小,‎ 最小面积是‎27(2-‎3‎)‎‎4‎ km2.‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　正弦定理与余弦定理 ‎1.(2019课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-‎1‎‎4‎,则bc=(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cosC‎2‎=‎5‎‎5‎,BC=1,AC=5,则AB=(　　)‎ A.4‎2‎ B.‎30‎ C.‎29‎ D.2‎‎5‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=‎2‎,则C=(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ 答案　B　‎ ‎4.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=‎5‎,c=2,cos A=‎2‎‎3‎,则b=(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.3‎ 答案　D　‎ ‎5.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=　　　　. ‎ 答案　‎3‎‎4‎π ‎6.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎ 考点二　解三角形及其应用 ‎1.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=‎4‎‎5‎,cos C=‎5‎‎13‎,a=1,则b=　　　　. ‎ 答案　‎‎21‎‎13‎ ‎2.(2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C‎2‎=bsin A.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.‎ 答案　本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C‎2‎=sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0,所以sinA+C‎2‎=sin B.‎ 由A+B+C=180°,可得sinA+C‎2‎=cosB‎2‎,‎ 故cosB‎2‎=2sinB‎2‎cosB‎2‎.‎ 因为cosB‎2‎≠0,故sinB‎2‎=‎1‎‎2‎,因此B=60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=‎3‎‎4‎a.‎ 由已知及(1)利用正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°-C)‎sinC=‎3‎‎2tanC+‎1‎‎2‎.‎ 由于△ABC为锐角三角形,故0°0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 因此sinB+‎π‎2‎=cos B=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎4.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-‎π‎6‎.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.‎ 答案　(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-‎π‎6‎,得asin B=acosB-‎π‎6‎,即sin B=cosB-‎π‎6‎,可得tan B=‎3‎.又因为B∈(0,π),可得B=π‎3‎.‎ ‎(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π‎3‎,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=‎7‎.‎ 由bsin A=acosB-‎π‎6‎,可得sin A=‎3‎‎7‎.‎ 因为a0,所以c=3.‎ 故△ABC的面积为‎1‎‎2‎bcsin A=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由正弦定理,得‎7‎sin ‎π‎3‎=‎2‎sinB,‎ 从而sin B=‎21‎‎7‎,‎ 又由a>b,知A>B,所以cos B=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 故sin C=sin(A+B)=sinB+‎π‎3‎ ‎=sin Bcos π‎3‎+cos Bsin π‎3‎=‎3‎‎21‎‎14‎.‎ 所以△ABC的面积为‎1‎‎2‎absin C=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎7.(2015天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3‎15‎,b-c=2,cos A=-‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)求a和sin C的值;‎ ‎(2)求cos‎2A+‎π‎6‎的值.‎ 答案　(1)在△ABC中,由cos A=-‎1‎‎4‎,可得sin A=‎15‎‎4‎.‎ 由S△ABC=‎1‎‎2‎bcsin A=3‎15‎,得bc=24,又由b-c=2,‎ 解得b=6,c=4.‎ 由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.‎ 由asinA=csinC,得sin C=‎15‎‎8‎.‎ ‎(2)cos‎2A+‎π‎6‎=cos 2A·cosπ‎6‎-sin 2A·sinπ‎6‎ ‎=‎3‎‎2‎(2cos2A-1)-‎1‎‎2‎×2sin A·cos A=‎15‎‎-7‎‎3‎‎16‎.‎ ‎8.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=‎3‎asin C-ccos A.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若a=2,△ABC的面积为‎3‎,求b,c.‎ 答案　(1)由c=‎3‎asin C-c·cos A及正弦定理得‎3‎·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.‎ 由于sin C≠0,所以sinA-‎π‎6‎=‎1‎‎2‎.‎ 又0π‎3‎,ab=sinAsin2C,则关于△ABC的两个结论:①一定是锐角三角形;②一定是等腰三角形,下列判断正确的是(　　)‎ A.①错误,②正确 B.①正确,②错误 C.①②都正确 D.①②都错误 答案　C　‎ ‎3.(2019湖南怀化一模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若2S=(a+b)2-c2,则tan C的值是(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎3‎‎4‎ C.-‎4‎‎3‎ D.-‎‎3‎‎4‎ 答案　C　‎ ‎4.(2020届广东佛山实验中学第一次联考,9)如图,在△ABC中,D为BC上一点,AB=15,BD=10,∠ADC=120°,则cos∠BAD=(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎2‎‎3‎ C.-‎6‎‎3‎或‎6‎‎3‎ D.‎‎6‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎5.(2019江西临川、南康九校联考,10)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=(　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎ C.2 D.0‎ 答案　D　‎ ‎6.(2018山西晋城一模,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+‎π‎3‎=‎3‎‎2‎a,CA·CB=20,c=7,则△ABC的内切圆的半径为(　　)‎ A.‎2‎ B.1 C.3 D.‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎7.(2020届河北枣强中学9月月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=‎3‎,且2sin(B+C)cos C=1-2cos Asin C,则△ABC的面积是(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎4‎或‎3‎‎2‎ D.‎1‎‎4‎或‎1‎‎2‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎8.(2020届山西康杰中学等四校9月联考,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,sin(A+C)=‎2Sb‎2‎‎-‎c‎2‎,且A,B,C成等差数列,则C的大小为　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ ‎9.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆半径为‎2‎‎3‎‎3‎,b=2,则△ABC的周长的取值范围是　　　　　　. ‎ 答案　(2+2‎3‎,6]‎ 三、解答题(共35分)‎ 答案　(1)∵(2c-a)cos B-bcos A=0,‎ ‎∴由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B-sin Bcos A=0,‎ ‎∴2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A,‎ 即2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C.‎ ‎∵C∈‎0,‎π‎2‎,∴sin C≠0,∴cos B=‎1‎‎2‎,‎ ‎∵B∈‎0,‎π‎2‎,∴B=π‎3‎.‎ ‎(2)∵S=‎1‎‎2‎acsin∠ABC=‎1‎‎2‎BD·b,将c=2,BD=‎3‎‎21‎‎7‎,sin∠ABC=‎3‎‎2‎代入,得b=‎7‎‎3‎a.‎ 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos∠ABC=a2+4-2a.‎ 将b=‎7‎‎3‎a代入上式,整理得a2-9a+18=0,解得a=3或6.‎ 当a=3时,b=‎7‎;当a=6时,b=2‎7‎.‎ 又∵△ABC是锐角三角形,∴a2

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