内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

集宁一中西校区高二年级第二学期第二次月考理科数学试题 一．选择题 ‎1.若，则 A. 1 B. ‎-1 ‎C. i D. -i ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C．‎ ‎【考点】复数的运算、共轭复数．‎ ‎【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎2.用反证法证明命题“若，则a、b全为0”，其反设正确的( )‎ A. a、b至少有一不为0 . B. a、b至少有一个为0‎ C. a、b全部为0 D. a、b中只有一个为0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，a，b全为0的反面即为或，结合各选项，即可得出结论.‎ ‎【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，‎ 所以用反证法证明命题“若，则a，b全为‎0”‎时，‎ 应假设或，a，b不全为零，即a，b至少有一个不为0.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题.‎ ‎3.设随机变量的概率分布表如下图，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得和的值，代入计算可得答案.‎ ‎【详解】由，可得或.‎ 再由分布列性质可得 ‎ 则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布．属于基础题.‎ ‎4.抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（ ）‎ A. 0.93 B. ‎ C. 1﹣（1﹣0.9）3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立重复试验的概率公式即可得解.‎ ‎【详解】根据独立重复试验概率公式可得：‎ 抽奖一次中奖的概率是90%，‎ ‎5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为 故选：B ‎【点睛】此题考查求独立重复试验概率，关键在于准确辨析独立重复试验，根据公式求解概率.‎ ‎5.若，且, 则实数的值为 A. 1或3 B. ‎-3 ‎C. 1 D. 1或 -3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】令得：，而，所以有 ‎.‎ 令得：，因此有，解得，或，故选：D ‎6.设随机变量，若，则n=‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量，得到方程组，解得答案.‎ ‎【详解】随机变量，‎ 解得 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.‎ ‎7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )‎ A 12种 B. 18种 C. 24种 D. 48种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有 种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.‎ 考点：排列组合.‎ ‎8.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎9.的展开式中，系数最小的项为（ ）‎ A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当 为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C．‎ ‎10.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（ ）.‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.‎ 故答案为C.‎ ‎11.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：‎ 工人 ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 废品数 ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ 概率 ‎ ‎0.4 ‎ ‎0.3 ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.1 ‎ ‎0.3 ‎ ‎0.5 ‎ ‎02 ‎ ‎0 ‎ 则有结论（　　）‎ A. 甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B. 乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C. 两人的产品质量一样好 D. 无法判断谁的质量好一些 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：极差、方差与标准差．‎ 分析：根据出现废品数与出现的概率，得到甲生产废品期望和乙生产废品期望，把甲和乙生产废品的期望进行比较，得到甲生产废品期望大于乙生产废品期望，得到乙的技术要好一些．‎ 解：甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，‎ 乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9，‎ ‎∴甲生产废品期望大于乙生产废品期望，‎ 故选B．‎ ‎12.若函数在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.‎ 详解：因为在上是减函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即，即，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ 二．填空题 ‎13.已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．‎ ‎【答案】201‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．‎ ‎【详解】已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，‎ 若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，‎ 若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有‎100a+10b+c=312．‎ 故答案为312．‎ ‎【点睛】题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏，是基础题．‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，得到切线斜率，即可得到切线方程.‎ ‎【详解】由题，‎ ‎，即在点处的切线斜率为3，‎ 所以切线方程为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程，关键在于准确求解导函数，根据导数求出切线斜率，得到切线方程.‎ ‎15.已知随机变量ξ~B(n，p)，若E(ξ)=4，η=2ξ+3，D(η)=3.2，则P(ξ=2)=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，解方程组时和一般的解法不同，需要整体代入达到目的，得到要求的概率，即可得出结论．‎ ‎【详解】由题意，D（η）=4D（ξ）=3.2，∴D（ξ）=0.8，‎ ‎∴np（1﹣p）=0.8①‎ ‎∵Eξ=4，∴np=4②‎ 由①②解得p=0.8，n=5，‎ ‎∴P（ξ=2）==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．‎ ‎16.在 10 个形状大小均相同的球中有 7 个红球和 3 个白球，不放回地依次摸出 2 个球，在第 1次摸出红球的条件下，第 2 次也摸到红球的概率为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据第一次的摸球结果，分析进行第二次摸球时的基本事件总数和所求基本事件个数.‎ ‎【详解】第一次摸出红球，进行第二次摸球时，有9个球，其中红球6个，‎ 所以第二次也摸到红球的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查条件概率，可以根据公式求解，对于简单条件概率，可以直接分析基本事件.‎ 三．解答题 ‎17.求下列函数的导数 ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分式型函数的求导法则即可得解；‎ ‎（2）将函数看成乘积型，利用乘积型函数求导法则和复合函数求导法则即可得解.‎ ‎【详解】（1）； ‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】此题考查求导函数，关键在于熟练掌握求导法则，涉及乘积型和分式型以及复合函数求导法则.‎ ‎18. （．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖概率；‎ ‎（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案 依题意可知，的所有可能取值为，用古典概型分别求出概率，列出分布列 ‎【详解】（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P＝.（或用间接法，P=1-）. ‎ ‎(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，‎ P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎【点睛】本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏 ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，得到切线斜率，根据点斜式得解切线方程；‎ ‎（2）求出导函数，对k进行分类讨论即可得解单调区间.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 且，，‎ 所以在点处的切线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）.‎ ‎①当时，由，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ ‎②当时，，得或 当时，，仅当时，所以的单调递增区间是 ‎； ‎ 当时，，由，得或，所以的单调递增区间是、，单调递减区间是； ‎ 当时，，由，得或，所以的单调递增区间是、，单调递减区间是.‎ ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数求解在某点处的切线斜率，利用导函数讨论函数单调性，涉及分类讨论思想.‎ ‎20.某投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.‎ 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.‎ ‎【答案】选择项目一，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意写出两个项目获利的分布列，根据分布列求出数学期望以及方差值，结合数学期望和方差值选择合适的项目.‎ ‎【详解】对于项目一，该项目年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为万元，‎ 则随机变量的分布列为 所以，（万元），‎ ‎.‎ 对于项目二，该项目年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为万元，‎ 则随机变量的分布列为 ‎（万元），‎ ‎.‎ ‎，，‎ 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.‎ 综上所述，建议该公司选择项目一投资.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量分布列、数学期望与方差的计算，同时也考查了利用数学期望和方差解决实际问题，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）且（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出存在，使得成立，即存在，使得成立，求出的最大值，即可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）分类讨论参数的值，利用导数得出的最小值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 在上存在单调递减区间 存在，使得成立 即存在，使得成立 且 ‎（2）‎ 当时，，则函数在上单调递减 成立，即 当时，由，则 所以函数在上单调递减，恒成立，即 当时，；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增 ‎，解得 综上，‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒能成立问题，属于中档题.‎ ‎22.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求重量超过‎505克产品数量．‎ ‎（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过‎505克的产品数量，求Y的分布列．‎ ‎（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过‎505克的概率．‎ ‎【答案】12，‎ ‎【解析】‎