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新课标(全国卷)高三二轮复习理科数学(二十二) 导数与不等式
第 10 页 共 10 页 新课标(全国卷)高三二轮复习理科数学(二十二) 导数与不等式 [全国卷 考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 利用导数研究函数的极值、零点问题·T20 利用导数研究函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题·T20 利用导数研究函数的单调性、最值问题·T20 2018 利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明·T21 函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题·T21 导数在研究不等式及极值问题的应用·T21 2017 利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21 利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明·T21 导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩·T21 导数日益成为解决问题必不可少的工具,利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型,而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题,是高考的热点和难点. 解答题的热点题型有: (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值;(2)利用导数证明不等式或探讨方程根;(3)利用导数求解参数的范围或值. [例1] (2019·湖北部分重点中学高三测试)设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)如果f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围. [解] (1)f′(x)=2ax-=(x>0).当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当a>0时,由f′(x)=0得x=,所以当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增. (2)证明:g(x)=,令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1. 当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)单调递增,又s(1)=0,所以s(x)>0,从而当x>1时,g(x)=->0. (3)由(2)知,当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0. 第 10 页 共 10 页 故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0. 当01.由(1)知f查看更多
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