2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，故选C.‎ ‎2．已知抛物线 上点到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵抛物线方程为 ‎∴抛物线焦点为，准线方程为x=−‎ 又∵点M(1,m)到其焦点的距离为3，‎ ‎∴p>0，根据抛物线的定义，得1+=3，‎ ‎∴p=4，所以准线方程为x=−2‎ 故选D.‎ ‎3．执行所示程序后输出的结果是：‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；‎ 当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；‎ 当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；‎ 当n=2，S=12时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=14，n=1；‎ 当n=1，S=14时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=15，n=0；‎ 当n=0，S=15时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输出n=0‎ 故选B.‎ ‎4．根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环， ，‎ 第二次循环， ，‎ 第三次循环， ，‎ 此时输出，所以应填写 ‎5．若椭圆 的一个焦点的坐标是,则其离心率等于( )‎ A. 2 B. . C. . D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知，b= ，a= =1，∴c= = ∴e= = ‎ 故选B．‎ 点睛：根据题意可知a和b，进而根据c=求得c，进而根据e=求得e．‎ ‎6．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为 A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵抛物线的准线为，曲线 为，圆心为，半径，∵抛物线的准线与曲线相切，∴，即．‎ ‎【考点】抛物线与圆的几何性质．‎ ‎7．不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是:‎ A. (0，1) B. (0，7) C. ［1，7) D. (1，7］‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线y=kx+1恒过定点(0,1),‎ 由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部，所以有： ，得.‎ 又椭圆+=1的焦点在x轴上，所以.‎ 综上： ‎ 故选C.‎ ‎8．直线l1:kx-y-3=0和l2:x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=‎ A.-3 B.‎-2 ‎ C.或-1 D. 或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为直线l1:kx-y-3=0和l2:x+(2k+3)y-2=0互相垂直，且斜率存在，因此斜率之积为-1，所以 ‎9．若关于的方程 有两个不同实根，则实数的取值范围是 A. B. [) C. () D. (]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 关于的方程 有两个不同实根，即为曲线y=和直线有两个交点.‎ 曲线y=表示以原点为圆心,2为半径的圆,在x轴上边的部分,‎ 如图所示,当直线与半圆相切时, =，‎ ‎∴直线与曲线y=有两个交点,实数的取值范围是[)‎ 故选：B.‎ 点睛：已知方程解的个数(或函数零点个数)求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎10．椭圆 上存在个不同的点，椭圆的右焦点为，若数列是公差大于的等差数列，则的最大值是 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∵数列{| |}是公差d大于的等差数列，‎ ‎∴,解得，‎ 则n的最大值为15.‎ 故选：C.‎ ‎11．直线经过点，且与两坐标轴的正半轴交于两点，则 （ 为坐标原点）面积的最小值为 A. B. 25 C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线的方程为,经过点，有： ‎ 由，得.当且仅当，即, 取最小值24‎ ‎.，即 （ 为坐标原点）面积的最小值为12.‎ 故选C.‎ ‎12．如图，已知梯形中， ， 在线段上，且满足，双曲线过 三点，且以、为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是：‎ A. [] B. ()‎ C. (] D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥轴。‎ 因为双曲线经过点，且以、为焦点，由双曲线的对称性知关于轴对称，‎ 依题意,记，‎ 其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，‎ 由得， .‎ 设双曲线的方程为则离心率，‎ 由点C.E在双曲线上,将点C.E坐标和代入双曲线的方程,得，①‎ ‎.②‎ 由①式得，③‎ 将③式代入②式,整理得，‎ 故 由题设得, ，‎ 解得，‎ 所以,双曲线的离心率的取值范围为[].‎ 故选A.‎ 点睛：求双曲线的离心率或离心率的取值范围问题是高考常见问题，求离心率只需寻求一个关于的等量关系，求离心率的取值范围只需列出一个关于的不等关系，进而求出离心率的值或离心率的取值范围，求范围时还要注意曲线的离心率的范围，如双曲线的离心率的范围要大于1‎ 二、填空题 ‎13．斜率为1的直线被圆x2+y2=４x截得的弦长为4，‎ 则的方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设斜率为1的直线的方程为： .‎ 圆x2+y2=４x,即.圆心为： ，半径为：2‎ 由弦长为4，即为直径长，所以直线经过圆心，有： ，解得.‎ 所以直线的方程为： .‎ ‎14．执行如图所示的框图,输出值______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出x=12.‎ 故答案为：12‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎15．已知，‎ 则直线 与坐标轴围成的三角形面积是___________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵直线l1:(m+3)x+y=3m−4与直线l2:7x+(5−m)y−8=0无公共点 ‎∴若m=5，两直线分别为l1:8x+y−11=0，l2:7x−8=0，不符合题意，‎ ‎∴m≠5且k1=−m−3，k2=.‎ 由k1=k2解得m=4或m=−2，‎ 若m=4，两直线重合不合要求，故m=−2.‎ ‎∴直线(m+3)x+y=3m+4即x+y+2=0，两截距都为−2，‎ ‎∴.‎ 故答案为：2.‎ ‎16．已知椭圆： ，设直线与椭圆交于不同两点，且．若点满足，则=______________.‎ ‎【答案】 或 ‎ ‎【解析】由,得①‎ ‎∵直线l与椭圆C交于不同两点，‎ ‎∴得<16.‎ 设则,是方程①的两根，‎ 则.‎ ‎∴.‎ 又由,得，解之m=±2.‎ 据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点。‎ 设AB的中点为,则，‎ 当m=2时, .‎ ‎∴此时,线段AB的中垂线方程为，即y=−x−1.‎ 令y=2,得=−3.‎ 当m=−2时,E(,−).‎ ‎∴此时,线段AB的中垂线方程为，即y=−x+1.‎ 令y=2,得=−1.‎ 综上所述, 的值为−3或−1.‎ 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ 三、解答题 ‎17．（1）直线经过点且与直线： 平行，求直线的方程；‎ ‎ （2）已知直线的方程为，求坐标原点到 的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平行可设直线方程为，代入点坐标即可得解；‎ ‎（2）直线过定点，利用原点到直线m的距离即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为直线与直线： 平行，‎ 可设直线的方程为： ‎ 代入得4.‎ 所以直线的方程为： .‎ ‎（2）求得直线m恒过定点，‎ 故原点到直线m的距离，‎ ‎ 到直线m的距离的最大值为.‎ ‎18． 分别为等轴双曲线的左、右焦点，且到双曲线的一条渐近线的距离为1，‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）是双曲线上一点，若，求的面积.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等轴双曲线，由焦点到准线的距离为可求方程；‎ ‎（2）利用双曲线的定义及勾股定理可求面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等轴双曲线,‎ 到双曲线的一条渐近线的距离为 双曲线的标准方程为： ‎ ‎（2）是双曲线上一点，若,即 ‎，且.‎ 解得，解得 ‎ .‎ ‎19．已知圆圆心在直线上，且经过点， ，‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由AB的垂直平分线于圆心所在直线联立得圆心，进而得半径得方程；‎ ‎（2）令，由圆心到直线距离小于等于半径可得的取值范围 试题解析：‎ ‎(1) ， ，AB的中点为： ，AB的斜率为1.‎ 所以AB的垂直平分线为x−y−2=0，与3x−y=0的交点为(−1,−3)，‎ 所以圆心坐标为，‎ 圆的标准方程为： . ‎ ‎（2）令，‎ 直线方程为y−2= (x-2)，即，‎ 圆心到直线的距离，解得，‎ 所以的取值范围： . ‎ 点睛： 与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ ‎20．已知动点到点的距离比到直线 的距离小2，‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线过点且与的轨迹交于两点,则是否存在常数使得恒成立？若存在，求出常数,不存在,说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由抛物线定义可知，轨迹为抛物线，进一步确定方程即可；‎ ‎（2）设直线方程为： ，代入 的轨迹方程有： ，‎ 进而知，借助于韦达定理代入求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据题意知,动点P到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离，‎ ‎∴动点P是以F(1,0)为焦点，x=−1为准线的抛物线，‎ ‎∴p=2,动点P的轨迹方程为 ‎（2）设直线方程为： ，代入 的轨迹方程有：‎ ‎，其，‎ 设 则 ‎ ‎ 由知 ‎ （舍去负值）‎ ‎21．已知椭圆与曲线有相同的焦点，且过直线上一点.‎ ‎（1）当椭圆长轴最短时，求其标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与（1）中椭圆交于A、B两点，若P恰好是AB的中点，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用点关于直线对称得，两点间线段最短，即得，进而得方程；‎ ‎（2）利用点差法，设 则， ，两式相减得，代入中点即可得直线斜率，进而得直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆方程为 ‎ 求得其焦点为： ，求得关于的对称点 椭圆长轴最短时，方程为 ‎ ‎（2）设 则， ，‎ 两式相减得： .‎ 又点为AB的中点，所以.‎ 可得： ，得，即直线AB的斜率为.‎ 可得直线AB的方程为 ‎ ‎22．已知椭圆: 上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为 ，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为曲线上两点， 为坐标原点，直线 的斜率分别为，且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）椭圆上的任一点到焦点的距离最大值为，结合离心率的值即可得方程；‎ ‎（2）设， ，直线与圆： 的交点为，①当直线轴时， ，易得，②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，与椭圆联立得得， ，结合韦达定理可解得， 即可得最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆上的任一点到焦点的距离最大值为,又离心率为,‎ 解得： ，进而得.‎ 椭圆的方程为： ‎ ‎（2）设， ，直线与圆： 的交点为．‎ ‎①当直线轴时， ，‎ 由得或 此时可求得． ‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 联立消得，‎ ‎，‎ ‎ ， ， ‎ 所以 ‎ ， ‎ 由得， ，‎ 此时． ‎ 圆： 的圆心到直线的距离为， ‎ 所以，‎ 得，‎ 所以当时， 最大，最大值为，‎ 综合①②知，直线被圆： 截得弦长的最大值为，‎ 此时，直线的方程为 ‎ 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎