2019-2020学年陕西省黄陵中学高新部高一上学期期末考试数学试卷

2019-2020学年陕西省黄陵中学高新部高一上学期期末考试数学试卷

黄陵中学高新部2019~2020学年第一学期 高一期末数学试题 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共6分）‎ ‎1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)‎ A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱　 B．圆 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 ‎3．如图，直观图所表示的平面图形是(　　)‎ A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形 ‎4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)‎ ‎ 5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 ‎6．如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥‎ BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　　)‎ A.12 B． ‎9 C．－12 D．9或12‎ ‎9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l　　　　B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)‎ ‎ A．3 B‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎11．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)‎ A.(1,2) B．(2,1) C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)‎ ‎12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)‎ A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3‎ C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4‎ 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13.若函数f(x)＝则f(f(－1))＝‎ ‎14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．‎ ‎15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．‎ ‎16．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ ‎18．（14分）设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)， 且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ ‎19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，‎ 求证：(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎20．（14分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．‎ ‎(1)求证：EA⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.‎ 求证：EF∥AB.‎ ‎21．（14分）已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：‎ ‎(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：‎ ‎(1) l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ ‎22．（14分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.‎ ‎(1)求证：圆C1和圆C2相交；‎ ‎(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分，‎ ‎1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)‎ A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ 答案：C ‎2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)‎ A．圆柱　　　　　　 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 答案：C ‎.‎ ‎　3如图，直观图所表示的平面图形是(　　)‎ A.正三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．直角三角形 ‎．答案　D ‎　4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)‎ 答案　D ‎ ‎ ‎．5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 答案　C ‎6． .如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 答案　B ‎71.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 答案　D ‎． ‎ ‎　8．4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　　)‎ A.12 B．‎9 C．－12 D．9或12‎ 答案A ‎　9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l　　　　B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案：C ‎． ‎ ‎10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)‎ ‎_‎ ‎ A．3 B‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎． ‎ 解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，‎ 所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．‎ 答案：B ‎　11．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)‎ A.(1,2) B．(2,1)‎ C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)‎ 答案　C ‎　12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)‎ A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3‎ C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4‎ 答案　D 解析　因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，选D.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13. 若函数f(x)＝则f(f(－1))＝2‎ ‎14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14π________．‎ ‎　15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定1或4________个平面．‎ ‎ ‎ ‎　16．　过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．‎ y＝－x或x－y＋8＝0‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．‎ 函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，‎ 且－＝－1，‎ 解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.‎ 所以F(x)＝ 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.‎ ‎18．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ ‎2．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ 解：(1)因为f(1)＝2，‎ 所以loga4＝2(a＞0，a≠1)，‎ 所以a＝2.‎ 由得－1＜x＜3，‎ 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．‎ ‎ (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2[(1＋x)(3－x)]‎ ‎＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2 ‎ ‎．‎ ‎19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎(1)因为G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ 所以GH是△A1B‎1C1的中位线，则GH∥B‎1C1.‎ 又因为B‎1C1∥BC，‎ 所以GH∥BC，‎ 所以B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，‎ 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.‎ 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，‎ 所以A‎1GEB，‎ 所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.‎ 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ 所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，‎ 所以平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．‎ ‎(1)求证：EA⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.‎ 求证：EF∥AB.‎ 证明(1)∵E是半圆上异于A，B的点，‎ ‎∴AE⊥EB.‎ 又∵平面ABCD⊥平面ABE，‎ 平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABE.‎ 又∵AE⊂平面ABE，‎ ‎∴CB⊥AE.‎ ‎∵BC∩BE＝B，‎ ‎∴AE⊥平面CBE.‎ 又∵EC⊂平面CBE.‎ ‎∴AE⊥EC.‎ ‎(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE.‎ ‎∴CD∥平面ABE.‎ 又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.‎ ‎∴CD∥EF.‎ 又∵CD∥AB.‎ ‎∴EF∥AB.‎ ‎． ‎ ‎　‎ ‎21．（12分）4.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：‎ ‎(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解　(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.‎ 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.‎ ‎∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.‎ 又∵l1过点(－3，－1)，‎ ‎∴－‎3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，‎ ‎∴此种情况不存在，∴k2≠0，‎ 即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，‎ ‎∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋b＋4＝0.②‎ 由①②联立，解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，‎ k1＝k2，即＝1－a.③‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④‎ 联立③④，解得或 ‎∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎22．（12分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.‎ ‎(1)求证：圆C1和圆C2相交；‎ ‎(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．‎ ‎(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C‎1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．‎ ‎(2)解：圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.‎ 圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为＝3，故公共弦长为2＝2.‎