【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第一讲　导数的概念及运算

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章第一讲　导数的概念及运算

第三章　导数及其应用 第一讲　导数的概念及运算 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列说法正确的是(　　)‎ ‎(1)f ' (x)与f ' (x0)(x0为常数)表示的意义相同.‎ ‎(2)在曲线y=f (x)上某点处的切线与曲线y=f (x)过某点的切线意义相同.‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.‎ ‎(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.‎ ‎(5)(sin π‎3‎)' =cos π‎3‎.‎ ‎(6)(3x)' =3xlog3e.‎ ‎(7)(log2x)' =‎1‎x·ln2‎.‎ A.(1)(2)(3)(5)(7) B.(4)(5)(7)‎ C.(3)(7) D.(6)(7)‎ ‎2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t 3 - ‎1‎‎2‎gt 2(g=10 m/s2),则当t=2 s时,它的加速度是(　　)‎ A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D. - 4 m/s2‎ ‎3.设正弦函数y=sin x在x=0和x=π‎2‎附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为(　　)‎ A.k1>k2 B.k10)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　. ‎ 考法1导数的运算 ‎1求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);‎ ‎(2)y=sinx‎2‎(1 - 2cos2x‎4‎)；‎ ‎(3)y=ln‎2x-1‎‎2x+1‎(x>‎1‎‎2‎).‎ 把已知函数式进行化简→利用导数公式进行求导 ‎(1)因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,‎ 所以y' =3x2+12x+11.‎ ‎(2)因为y=sinx‎2‎( - cosx‎2‎)= - ‎1‎‎2‎sinx,‎ 所以y' =( - ‎1‎‎2‎sinx)' = - ‎1‎‎2‎(sinx)' = - ‎1‎‎2‎cosx.‎ ‎(3)y'=(ln‎2x-1‎‎2x+1‎)'=[ln(2x - 1) - ln(2x+1)]'=[ln(2x - 1)]' - [ln(2x+1)]'=‎1‎‎2x-1‎·(2x - 1)' - ‎1‎‎2x+1‎·(2x+1)'=‎2‎‎2x-1‎‎ - ‎‎2‎‎2x+1‎=‎4‎‎4x‎2‎-1‎.‎ ‎2若函数f (x)=ln x - f ' (1)x2+3x - 4,则f ' (3)=　　　. ‎ 先求出f ' (1),得出导函数的解析式,再把x=3代入导函数的解析式得f ' (3).‎ 对f (x)求导,得f ' (x)=‎1‎x - 2f ' (1)x+3,所以f ' (1)=1 - 2f ' (1)+3,解得f ' (1)=‎4‎‎3‎,所以f ' (x)=‎1‎x‎- ‎‎8‎‎3‎x+3,将x=3代入f ' (x),可得f ' (3)= - ‎14‎‎ 3‎.‎ ‎1.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f (x)=x(x - a1)(x - a2)…(x - a8),则f ' (0)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　‎ A.26 B.29 C.212 D.215‎ 考法2导数的几何意义的应用 ‎3(1)[2019全国卷Ⅱ,10,5分]曲线y=2sin x+cos x在点(π, - 1)处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x - y - π - 1=0 B.2x - y - 2π - 1=0‎ C.2x+y - 2π+1=0 D.x+y - π+1=0‎ ‎(2)[2019全国卷Ⅲ,6,5分][理]已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 A.a=e,b= - 1 B.a=e,b=1‎ C.a=e - 1,b=1 D.a=e - 1,b= - 1‎ ‎(3)[2019江苏,11,5分]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点( - e, - 1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. ‎ ‎(1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率,最后由直线的点斜式方程求解.(2)先求出切线方程,然后与已知的切线方程对比得出关于参数的方程组,解之即可.(3)设出点A的坐标,先求出切线方程,然后将( - e, - 1)代入求解即可.‎ ‎(1)依题意得y' =2cosx - sinx,y' ‎ ‎x=π=(2cosx - sinx)‎ ‎x=π=2cosπ - sinπ= - 2,‎ 因此所求的切线方程为y+1= - 2(x - π),‎ 即2x+y - 2π+1=0.故选C.‎ ‎(2)因为y' =aex+lnx+1,‎ 所以y' ‎ ‎x=1‎=ae+1,‎ 所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y - ae=(ae+1)(x - 1),即y=(ae+1)x - 1,‎ 所以ae+1=2,‎b=-1,‎解得a=e‎-1‎,‎b=-1.‎故选D.‎ ‎(3)设A(x0,lnx0),又y' =‎1‎x,‎ 则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y - lnx0=‎1‎x‎0‎(x - x0),‎ 将( - e, - 1)代入得, - 1 - lnx0=‎1‎x‎0‎( - e - x0),化简得lnx0=ex‎0‎,解得x0=e,则点A的坐标是(e,1).‎ ‎2.(1)[2019石家庄市质检]将函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切,则角θ满足的条件是(　　)‎ A.esin θ=cos θ B.sin θ=ecos θ C.esin θ=1 D.ecos θ=1‎ ‎(2)[2016全国卷Ⅱ,16,5分][理]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　. ‎ 易错1混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 ‎4若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3 - 3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为 A.1 B.‎1‎‎64‎ C.1或‎1‎‎64‎ D.1或 - ‎‎1‎‎64‎ 求解时易因没有对点(0,0)是否为切点进行分析,误认为是切点而出错.‎ 易知点O(0,0)在曲线y=x3 - 3x2+2x上.‎ ‎(1)当O(0,0)是切点时,‎ 由y' =3x2 - 6x+2,得y' |x=0=2,‎ 即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x.‎ 由y=2x,‎y=x‎2‎+a,‎得x2 - 2x+a=0,‎ 依题意知Δ=4 - 4a=0,得a=1.‎ ‎(2)当O(0,0)不是切点时,‎ 设直线l与曲线y=x3 - 3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=x‎0‎‎3‎ - 3x‎0‎‎2‎+2x0,k=y' ‎ |‎x=‎x‎0‎=3x‎0‎‎2‎ - 6x0+2　①,‎ 又k=y‎0‎x‎0‎‎=‎x‎0‎‎2‎ - 3x0+2　②,‎ 所以联立①②,得x0=‎3‎‎2‎(x0=0舍去),所以k= - ‎1‎‎4‎,‎ 故直线l的方程为y= - ‎1‎‎4‎x.‎ 由y=-‎1‎‎4‎x,‎y=x‎2‎+a,‎得x2+‎1‎‎4‎x+a=0,‎ 依题意知Δ=‎1‎‎16‎ - 4a=0,得a=‎1‎‎64‎.‎ 综上,a=1或a=‎1‎‎64‎.‎ C 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 数学运算 导数运算、解方程.‎ 二 逻辑推理 按点O是否为曲线切点进行分类讨论,命题的等价转换.‎ 一 易错警示　‎ ‎1.求解曲线的切线方程问题,关键是对曲线的函数的求导,因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.‎ ‎2.对于已知的点,应先确定其是不是曲线的切点.‎ ‎(1)“过点A的曲线的切线方程”与“曲线在点A处的切线的方程”是不相同的,后者A必为切点,前者A未必是切点;‎ ‎(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条;‎ ‎(3)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.而直线与二次函数对应的曲线相切只有一个公共点.‎ 易错2　复合函数的求导中错用法则致误 ‎5设函数f (x)=cos(‎3‎x+φ),其中常数φ满足 - π<φ<0.若函数g(x)=f (x)+f ' (x)(其中f ' (x)是函数f (x)的导数)是偶函数,则φ等于 A. - π‎3‎ B. - ‎5π‎6‎ C. - π‎6‎ D. - ‎‎2π‎3‎ 由题意得g(x)=f (x)+f ' (x)=cos(‎3‎x+φ) - ‎3‎sin(‎3‎x+φ)=2cos(‎3‎x+φ+π‎3‎).(注意两角和的余弦公式的应用)‎ 因为函数g(x)为偶函数,‎ 所以φ+π‎3‎=kπ,k∈Z,解得φ=kπ - π‎3‎,k∈Z.‎ 又 - π<φ<0,所以φ= - π‎3‎.‎ A 素养探源　‎ 核心素养 考查途径 素养水平 数学运算 导数运算、解方程.‎ 一 逻辑推理 命题间的等价转换.‎ 一 易错警示　‎ 本题在对复合函数求导时,易错用导数的运算法则而致误,避开易错点的关键是选择中间变量,复合函数f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y' =yu' ·ux' =f ' (u)·g' (x),即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导时需要记住中间变量,注意从外层开始由外及里逐层求导.‎ ‎322‎ ‎1.C　由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.‎ ‎2.A　由质点在时刻t的速度v(t)=s' (t)=6t2 - gt,加速度a(t)=v' (t)=12t - g,得当t=2 s时,a(2)=v' (2)=12×2 - 10=14(m/s2).‎ ‎3.A　∵y=sin x,∴y' =(sin x)' =cos x.k1=cos 0=1,k2=cosπ‎2‎=0,∴k1>k2.‎ ‎4.y=3x　因为y' =3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线的斜率k=‎'‎,所以所求的切线方程为y=3x.‎ ‎5. - 3　y' =(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,得y' |x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a= - 2,所以a= - 3.‎ ‎6.e　由题意得f ' (x)=exln x+ex·‎1‎x,则f ' (1)=e.‎ ‎7.(1,1)　y' =ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=‎1‎x(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=‎1‎x(x>0)在点P处的切线的斜率为 - 1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=‎1‎x(x>0)上点P处的切线的斜率为‎'‎= - a - 2= - 1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=‎1‎x上,所以b=1,故P(1,1).‎ ‎1.C　因为f ' (x)=x' [(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]+[(x - a1)·(x - a2)…(x - a8)]' x=(x - a1)(x - a2)…(x - a8)+[(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]' x,所以 f ' (0)=(0 - a1)(0 - a2)…(0 - a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f ' (0)=84=212.故选C.‎ ‎2.(1)B　由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y=ex的图象相切,设切点为(x0,ex‎0‎),∵y' =ex,∴ex‎0‎x‎0‎‎=‎ex‎0‎,∴x0=1,∴tan θ=e,‎ ‎∴sin θ=ecos θ,故选B.‎ ‎(2)1 - ln 2 　设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(x1,ln x1+2),与曲线y=ln(x+1)的切点为(x2,ln(x2+1)).‎ 则切线方程分别为y - ln x1 - 2=‎1‎x‎1‎(x - x1),y - ln(x2+1)=‎1‎x‎2‎‎+1‎(x - x2),化简得y=‎1‎x‎1‎x+ln x1+1,y=‎1‎x‎2‎‎+1‎x - x‎2‎x‎2‎‎+1‎+ln(x2+1),‎ 依题意,得‎1‎x‎1‎‎=‎1‎x‎2‎‎+1‎,‎lnx‎1‎+1= - x‎2‎x‎2‎‎+1‎+ln(x‎2‎+1),‎解得x1=‎1‎‎2‎,从而b=ln x1+1=1 - ln 2.‎