2020届二轮复习复杂数列的求和问题学案（全国通用）

2020届二轮复习复杂数列的求和问题学案（全国通用）

专题 02 复杂数列的求和问题 一．方法综述 数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数思想，会跟其他知识进行 结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型 的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶 性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问 题进行分析. 二．解题策略 类型一 数列求和中的新定义问题 【例 1】【2018 届广东省中山市第一中高三月考】定义 为 个正数 ， ， ， 的 “ 均 倒 数 ” ， 若 已 知 数 列 的 前 项 的 “ 均 倒 数 ” 为 ， 又 ， 则 （ ） A. B. C. D. 所以 ， 故选 C．* 1 2 n n p p p+ + n 1p 2p  np { }na n 1 2 1n + 1 4 n n ab += 1 2 2 3 3 4 2017 2018 1 1 1 1 b b b b b b b b + + + + = 2015 2016 2016 2017 2017 2018 1 2017 1 2 2 3 3 4 2017 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20171 12 2 3 2017 2018 2018 2018b b b b b b b b      + + + + = − + − + + − = − =            【答案】C 【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新 定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中 的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数知识，所以说“新 题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧： （1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与 背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论， 因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到 处理的思路 （2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所的一些基础知识与方法. 所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索. （3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情 况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循. 【举一反三】【2018 安徽省巢湖市柘皋中第三次月考】已知数列 的前 项和为 ，定义 为数 列 前 项的叠加和，若 2016 项数列 的叠加和为 2017，则 2017 项数列 的叠加和为( ) A. 2017 B. 2018 C. D. 故选 A． 【答案】A 类型二 子数列中的求和问题 【例 2】【河南省南阳市 2018 届高三上期期中质量评估】已知有穷数列 中， ，且 { }na n nS 1 1 n i i Sn = ∑ { }na n 1 2 3 2016, , ,a a a a 1 2 20161, , ,a a a 22017 22018 { }na 1,2,3, ,729n =  ，从数列 中依次取出 构成新数列 ，容易发现数列 是以-3 为 首项，-3 为公比的等比数列，记数列 的所有项的和为 ，数列 的所有项的和为 ，则（ ） A. B. C. D. 与 的大小关系不确定 【 解 析 】 因 为 ， ，所以 ，当 时， 是 中第 365 项，符合题意， 所以 ,所以 ，选 A. * 【答案】A 【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法. 【举一反三】【安徽省淮南市第二中、宿城第一中 2018 届高三第四次考试】已知 ，集合 ，集合 的所有非空子集的最小元素之和为 ，则使得 的最小正整数 的值为（ ） A. B. C. D. ∴ =S1+S2+S3+…+Sn= + 则 的最小正整数 为 13 故选 B* 【答案】B 类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例 3】【江苏省淮安中 2018 届高三数月考】已知函数 ，且 ，则 ( )( ) 12 1 1 n na n += − − { }na 2 5 14, , ,a a a  { }nb { }nb { }na S { }nb T S T> S T= S T< S T ( ) 7281 3 5 7 2 729 1 1 2 7292s = − + − + + × − = + × = ( )( ) ( )13 3 3 729 2 1n n nb −= − − = − ≤ × − 6n ≤ 6n = 6 729b = na ( ) ( )( ) ( ) 63 1 3 5461 3T − − − = =− − S T> *n N∈ 1 3 5 2 1, , , ,2 4 8 2n n nM − =    nM nT 80nT > n 12 13 14 15 nT 2 1 2 n − 22 3 7 5 3 1...... 22 2 4 4 2 n n− −+ + + + = 2 1 802 n − > n ( ) ( )2cosf n n nπ= ( ) ( )1na f n f n= + + __________． 【解析】 为偶数时， ； 为奇数时， ； 【答案】-100 【指点迷津】数列求和中遇到 ， ， 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法 求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和 的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ） 【举一反三】【黑龙江省大庆实验中 2018 届高三上期期中考试】设数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 ______ 【答案】240 类型四 周期性在数列求和中的应用 【例 4】【2018 陕西西安长安区五中二模】数列 满足 ，则数列 的前 100 项和为__________． 1 2 3a a a+ + + + 100a = n ( )22 1 2 1na n n n= − + = − − n ( )22 1 2 1na n n n= − + + = + 1 2 3a a a+ + + + 100a = 3 5 7 9 199 201 2 50 100− + − + + − = − × = − n)1(− πnsin πncos ,{ 2 ,n n n na n = 为奇数 为偶数 ( ) 21 n na n= − { }na n nS 2 2a = ( ) 1 2 1 1n n na a− + + − = 40S = { }na 1 2 sin 1 22n n na a n π +  = − +   { }na 【答案】5100 【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函 数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造 ，周 期为 4，于是研究数列中依次 4 项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决 此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列 满足 则该数列的前 项 的和为__________． 【解析】 为奇数时， ； 为偶数时， ； 所以 为奇数时有 ； 为偶数时 ; 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. * 所以 . 【答案】 类型五 数列求和的综合问题 sin 2 nπ ( ) sin 2f n n π= ⋅ { }n α 2 2 1 2 21, 2, 1 cos sin ,2 2n n n na a a a π π +  = = = + +   21 n 2 2cos 0 sin 12 2 n nπ π= =， n 2 2cos 1 sin 02 2 n nπ π= =， n 2 1n na a+ = + n 2 2na n+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 2 10 11 21 1 3 5 21 2 4 6 20 2 2 121 11S 1 2 3 11 2 2 2 6 11 2 2 21122 2 1a a a a a a a a −×= + + + + + + + = + + + + + + + + = + = × + − =−    2112 【 例 5 】 【 2017 届 陕 西 省 西 安 市 铁 一 中 高 三 上 期 第 五 次 模 拟 】 数 列 满 足 ，则 的整数部分是__________． 【答案】2 【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数 列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力， 试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为 ，再借助数列 的单调性是解答的关键. 【举一反三】【2017 福建外国语校高三月考】已知数列 满足 （ ），若 ， （ ， ），且 对于任意正整数 均成立，则数列 的前 2015 项和 的值为 ．（用具体的数字表示） { }na ( )2 * 1 1 4 , 13 n n na a a a n N+= = − + ∈ 1 2 2017 1 1 1 a a a + + + 1 1 1 1 1 1n n na a a+ = −− − { }nx 2 1| |n n nx x x+ += − *n N∈ 1 1x = 2x a= 1a ≤ 0a ≠ 3n nx x+ = n { }nx 2015S 【答案】1344