贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（文）试题 Word版含答案

贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（文）试题 Word版含答案

- 1 - 2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷） 文 科 数 学 注意事项： 1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 A. B. C. D. 3.双曲线 的焦点到渐近线的距离是 A.1 B. C. D.2 4.已知 ，则 A. B. C. D. 5.把函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，再将图象向右 平移 个单位，那么所得图象的一个对称中心为 A． B． C． D． 2 2 13 x y− = 2 3 ( ){ }2, =+= yxyxA ( ){ }2, xyyxB == =∩ BA ( ){ }1,1 ( ){ }4,2− ( ) ( ){ }4,21,1 −， φ z 1 i+ z i = 1+−i 1−−i 1+i 1−i 5 3 4cos =     − x π =x2sin 25 24 25 24− 25 7 25 7− sin( )6y x π= + 2 3 π ( ,0)3 π ( ,0)4 π ( ,0)12 π (0,0) - 2 - 6.已知 函数 ,若 ，则 的取值范是 A． B． C． D． 7.在 中， ，则 A. B. C. D. 8.一个几何体的三视图及尺寸如下所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图 是等腰三角形，该几何体的表面积是 A. B. C. D. 9.设 ， ， 为锐角 内角 ， ， 的对边，且满足 ， 若 ，则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 10.圆周率 是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多 数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自 随意写下两个小于 1 的正数然后请 他们各自检查一下，所得的两数与 1 是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你， 只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有 个人说“能”，而有 个人 说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率 的近似值为 A． B． C． D． 11.设抛物线 （ 为参数）的焦点为 ，准线为 .过抛物线上一点 作 的 垂线，垂足为 .设 ， 与 相交于点 .若 ，且 的面积为 ，则 的值为 A． B． C． D． ( )    <− ≥+= 0,2 0,2 2 2 xxx xxxxf ( ) ( ) ( )12 fafaf ≤+− a [ 1,0)− [ ]0,1 [ ]1,1− [ ]2,2− ABC∆ , 2 ,BD DC AP PD BP AB ACλ µ= = = +       λ µ+ = 1 3 − 1 3 1 2 − 1 2 π8216 + π828 + π16216 + π1628 + a b c ABC∆ A B C a C b B a A 3 sin32coscos =+ 2=b ABC∆ 3 32 3 32 2 1 π n m π m m n+ n m n+ 4m m n+ 4n m n+ )0( 2 2 2 >    = = p pty ptx t F l A l B )0,2 7( pC AF BC E AFCF 2= ACE∆ 23 p 6 62 63 64 - 3 - 12.已知函数 （ ， ）在区间 内有唯一零点，则 的最大为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知圆 ： ，直线 斜率存在过定点 ．若 与圆相切， 则 的方程_________. 14.设 为等比数列 的前 项和， ，则 _________． 15．若定义在 上的函数 满足 ， 是奇函数，现给出下列 个论断： ① 是周期为 的周期函数； ② 的图象关于点 对称； ③ 是偶函数； ④ 的图象经过点 ；其中正确论断的个数是______________. 16．金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何 单元），即碳原子处在立方体的 个顶点， 个面的中心，此外在立方体的对角线的 处也有 个碳原子，如图所示（ ），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个 碳原子的周围都有 个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为 ，则正四面体 的棱长为__________；正四面体 的外接球的体积是__________.（第一空 2 分， 第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ( ) bxx axf ln1−−= 0>a eb ≤≤0 [ ]e，1 1 2 + + a b 1 2 +e 1 2 2 ++ + ee e 1+e 2 2+e C 0218622 =+−−+ yxyx 1l )0,1(A 1l 1l nS { }na n 4 727a a= 6 3 S S = R ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1f x+ 4 ( )f x 4 ( )f x ( )1,0 ( )f x ( )f x ( )2,0− 8 6 4 1 4 SOST 4= 4 a SPQR SPQR - 4 - 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足： ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，求 取得最大值时 的值. 18.（本小题满分 12 分） 如图，正方形 的边长为 ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置， 且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）若 是 的中点，设 ，且三棱锥 的体积为 ，求 的值. 19.（本小题满分 12 分） （12 分）已知在 上任意一点 处的切线 为 { }na n nS 253 =+ aa 521 =+ aa { }na   n Sn n nT nT n ABCD 2 2 AC ACD D P PA PB= PAC ⊥ ABC M PC )10( <<= λλPAPN A BMN− 8 9 λ ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ),( 00 yxM l - 5 - ，若过右焦点 的直线 交椭圆 于 、 两点，在点 处切 线相交于 ． （1）求 点的轨迹方程； （2）若过点 且与直线 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 于 两点，证明 为定值． 20.（本小题满分 12 分） 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 数值大于或等于 20.5 时，我们说体重较重，当 数值小于 20.5 时，我们说体重较轻，身高大于或等于 我们说身高较高，身高小于 170cm 我们说身高较矮. （Ⅰ）已知某高中共有 32 名男体育特长生，其身高与 指数的数据如散点图，请根 据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 的把握认为男生的身高对 指数有影响. 身高较矮 身高较高 合计 12 0 2 0 =+ b yy a xx F l C 134 22 =+ yx P Q QP, G G F l C HE, |H| 1 || 1 EPQ + BIM BIM BIM 170cm BMI 95% BMI - 6 - 体重较轻 体重较重 合计 （Ⅱ）①从上述 32 名男体育特长生中随机选取 8 名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 166 167 160 173 17 8 169 158 173 体重 57 58 53 61 66 57 50 66 根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 .利用已经求得的线 性回归方程，请完善下列残差表，并求 （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的 贡献值）（保留两位有效数字）； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 体重（ ） 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 ②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中 是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 .小明重新根据最 最小二乘法的思想与公式，已算出 ，请在小明所算的基础上求出男体育特长生 的身高与体重的线性回归方程. 参考数据： ， ， ， ， 参考公式： ， ， ， ( )cm x ( )kg y  0.8 75.9= −y x 2R kg y e 1.0 3.0 9.0 1.5− 0.5− 2.3- 0.5− 58( )kg ∧∧ += axy 675.0 2 2 2 2 2 2 2(0.1) (0.3) (0.9) ( 1.5) ( 0.5) ( 2.3) ( 0.5) 8.95+ + + − + − + − + − = 168x = ( )8 2 1 226i i y y = − =∑ 4.113168675.0 =× ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 n i i i n i i y y R y y = = − = − − ∑ ∑ ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx = = = = − − − ⋅ = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a y bx= −  - 7 - ， . 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.811 6.635 7.879 21.已知函数 （ ， ）. （Ⅰ）若 ，试讨论函数 的单调性；[来源:学。科。网] （Ⅱ）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数 列 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.  i i ie y bx a= − − 2 2 ( ) ,( )( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + ( )02 ≥KP 0k ( ) 13 1 23 +++= bxaxxxf a Rb∈ 0=b ( )xf 02 =+ ba ( )xf a a - 8 - 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题号涂黑． 22.选修 4-4：坐标累与参数方程 平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极 点 ， 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 、曲线 在第一象限交于 、 两点，且 ， 点 的坐标为 ，求 的面积. xOy 1C      = += α α sin2 1 cos2 1 2 1 y x α x 2C θθρ 22 2 sin4cos 4 += 1C 2C kxyl =: 1C 2C P Q OPOQ 2= M ( )0,2 OMP∆ - 9 - 23.选修 4—5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若 ， ， ，求证： . ( ) 1−= xxf ( ) ( ) 84 ≥++ xfxf 1 a bfaabf - 10 - 2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷） 答案 文 科 数 学 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A D D C A B A C A D 二、填空题 三、解答题 17.解： （Ⅰ）设等差数列 公差为 ，依题意 ，解之得 . ......4 分 则 . 故数列 的通项公式为 （ ）. ......6 分 13 14 15 16 第一空 ；第二空： （第一 空 2 分，第二空 3 分） { }na d    =+ =+ 262 52 1 1 da da      −= = 5 3 5 14 1 d a ( ) nnan 5 3 5 17 5 315 14 −=    −−+= { }na nan 5 3 5 17 −= ∗∈ Nn 0343 =−− yx 28 27 3 a2 2 3 16 3 aπ - 11 - （Ⅱ）由 得 .数列 为等差数列. ......8 分 由 ，所以 ，即 ，由于 ，故 . 故 取得最大值时 的值为 . ......12 分 18.解： （Ⅰ）取 中点 ，连结 . 因为 ，所以 . ......1 分 在 中， ， ， 则 ， 所以 ， ......3 分 又 ，且 面 ， 所以 面 ， ......5 分 又 面 ，所以面 面 . ......6 分 （Ⅱ）因为面 面 ， 又面 面 ，且 ， 所以 面 ， ......8 分[来源:Zxxk.Com] 所以 . 又因为 ， ， 所以 . 因为 ，所以 . ( ) 2 1 n n aanS += 10 31 10 3 +−= nn Sn   n Sn 0> n Sn 010 31 10 3 ≥+− n 3 31≤n ∗∈ Nn 10≤n nT n 10 AC O PO BO， PC PA= PO AC⊥ POB 1 22PO OB AC= = = 2 2PB PA= = 2 2 2PB PO OB= + PO OB⊥ AC OB O= AC OB ⊂、 ABC PO ⊥ ABC PO ⊂ PAC PAC ⊥ ABC PAC ⊥ ABC PAC  ABC AC= BO AC⊥ OB ⊥ PAC 1 3A BMN B AMN AMNV V S BO− −= = ⋅  2OB = 8 9A BMNV − = 4 3AMNS =  PN PAλ=  ( ) 11 2AMN APM PACS S S λλ −= − =    - 12 - 又 ， 所以 ，得 . ......12 分 19.解： （Ⅰ）设直线 为 ， ，易得在 点处切线为 ， 在 点处切线为 ，由 得 又 可得 ， 点的轨迹方程 ； ......6 分 （Ⅱ）①设点 、 ，设直线 的方程为 . 将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得 . 由韦达定理得 ， . ......8 分 所以 = ； ......9 分 由题意可得 . ......10 分 . ......12 分 20.解： （Ⅰ） 1 42PACS PA PC= ⋅ =  1 442 3 λ− × = 1 3 λ = PQ 1+= tyx ),(),,( 2211 yxQyxP P 134 11 =+ yyxx Q 134 22 =+ yyxx      =+ =+ 134 134 22 11 yyxx yyxx 1221 21 )(4 yxyx yyx − −= 11 2211 +=+= tyxtyx ； 4=x G 4=x ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y l 1x ty= + l C 2 2 1 14 3 x ty x y = + + = x ( )2 23 4 6 9 0t y ty+ + − = 1 2 2 6 3 4 ty y t + = − + 1 2 2 9 3 4y y t = − + 21 2 21 2 4)(1 yyyytPQ −++= 43 )1(12 2 2 + + t t 2 2 2 2 43 )1(12 413 )11(12 t t t tEH + += + + = 12 7 112 34 112 43 |H| 1 || 1 2 2 2 2 =+ +++ +=+ ）（）（ t t t t EPQ - 13 - 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 6 15 21 体重较重 6 5 11 合计 12 20 32 由于 ， 因此没有 的把握认为男生的身高对 指数有影响. ......4 分 （Ⅱ）①对编号为 8 的数据 ，完成残差表如下所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 体重 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 0.1 0.3 0.9 3.5 . 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 约为 0.91. ......8 分 ②由①可知，第八组数据的体重应为 58.此时，易知， ， ， ， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为 . ......12 分 21.解： （Ⅰ）若 ，则 ， . ......2 分 若 ，则函数 在 上单调递增, ......3 分 2 2 32(6 5 6 15) 160 3 3.84112 20 21 11 77 × − ×= = < <× × ×K 95% BMI 8 66 0.8 173 75.9 3.5e = − × + = ( )kg y e 1.5− 0.5− 2.3- 0.5− ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (0.1) (0.3) (0.9) ( 1.5) ( 0.5) ( 2.3) ( 0.5) (3.5) 21.2 n i i i y y = − = + + + − + − + − + − + =∑ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 21.21 1 0.91226 = = − = − = − ≈ − ∑ ∑ N i i i n i i y y R y y 2R 168=x 57.5=y ˆ 57.5 0.675 168 55.9a = − × = − ˆ 0.675 55.9y x= − 0=b ( ) 13 1 23 ++= axxxf ( ) axxxf 22' += 0≥a ( )xf ( )∞+，0 - 14 - 若 ，令 ，得 ， . 在 上， ， 单调递减， 在 上， ， 单调递增. ......6 分 （Ⅱ）因为 ，则 ，若 有三个不同零点，且成等差 数列， 可设 , 故 ， 则 ， 故 ， ， . 此 时 ， ， ，故存在三个不同的零点，故符合题意 的 的值为 .[来源:Zxxk.Com] ......12 分 22.解： （Ⅰ）依题意，曲线 ： ，即 ，故 . .... ..2 分 由 得 ，即 ，即 ......4 分 （Ⅱ）设直线 的极坐标方程为 ，分别代入曲线 、 的极坐标方程得 ， . ......6 分 由 得 ，解得 ，则 ......8 分 又 ，所以 . 故 0xf ( )xf 02 =+ ba ( ) 13 1 223 +−+= xaaxxxf ( )xf ( ) ( )( )( ) ( )[ ]232223 333 1 3 1 mdmxdmmxxdmxmxdmxxf +−−+−=+−−−−= am =− ( ) 0=− af 013 1 333 =+++− aaa 13 5 3 −=a 5 33 −=a 5 33 =m 26ad ±= a 3 1 5 3    − 1C 4 1 2 1 2 2 =+     − yx 022 =−+ xyx θρ cos= θθρ 22 2 sin4cos 4 += 4sin4cos 2222 =+ θρθρ 44 22 =+ yx 14 2 2 =+ yx l 0θθ = 1C 2C 0cosθρ =P 0 2 0 2 0 2 2 sin31 4 sin4cos 4 θθθρ +=+=Q OPOQ 2= ( )2 0cos2 θ 0 2sin31 4 θ+= 3 2sin 0 2 =θ 3 1cos 0 2 =θ     ∈ 200 πθ ， 3 3cos 0 == θρP 3 2sin2 1 0 =⋅⋅⋅=∆ θρPOMP OMS - 15 - ......10 分 23.解： （Ⅰ） . ......3 分 当 时，解得 ；当 时，无解；当 时，解得 . 综上所述，不等式 的解集为 . ......5 分 （Ⅱ）要证 ，即证 ， 因为 ， ，所以 ， ， . 所以， .故所证不等式成立. ......10 分 ( ) ( )    ≥+ <≤− −<−− =++−=++ 1,22 13,4 3,22 314 xx x xx xxxfxf 3− a bfaabf baab −>−1 1−−=−−−= babba baab −>−1