2017-2018学年安徽省蚌埠市高二上学期期末考试数学(理)试题 解析版

2017-2018学年安徽省蚌埠市高二上学期期末考试数学(理)试题 解析版

安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】点关于平面对称的点的坐标为,选B ‎2. 若直线：与直线：平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎...............‎ ‎4. 准线为的抛物线标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】准线为的抛物线标准方程是，选A.‎ ‎5. 下列命题中正确的是（ ）‎ A. 如果平面平面，则内任意一条直线必垂直于 B. 若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线 C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D. 若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线 ‎【答案】C ‎【解析】如果平面平面，则内一条直线不一定垂直于；若直线不平行于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线平行于直线；若直线不垂直于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线垂直于直线；所以A,B,D都错；因为平面内存在直线垂直于平面则有平面垂直于平面，所以其逆否命题也成立，即C正确，选C.‎ ‎6. 已知双曲线的一个焦点为，且离心率，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即双曲线的方程为，选D.‎ ‎7. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，选B.‎ ‎8. 易知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】的最小值为 ,选A.‎ 点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．‎ ‎9. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体为两个柱体的组合，高皆为4，一个底面为梯形（上底为1，下底为2，高为1），另一个为矩形，长为3，宽为2，所以体积为 ，选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎10. 双曲线右焦点为，点在双曲线的右支上，以为直径的圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 ‎【答案】B ‎【解析】设为左焦点，则 ，从而圆心O到AF中点M距离为 ，所以以 为直径的圆与圆的位置关系是外切，选B.‎ 点睛：判断圆与圆位置关系，实质就是探求圆心距与两半径之间关系，利用圆锥曲线定义揭示两圆圆心距与半径关系.‎ ‎11. 《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，‎ 过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．‎ ‎∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，‎ ‎∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，‎ ‎∴OF==，FQ==，‎ ‎∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，‎ 又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，‎ ‎∴几何体的表面积S==8+8．‎ 故选：B．‎ ‎12. 设抛物线的焦点为，两垂直直线过，与抛物线相交所得的弦分别为，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】设倾斜角为 ，则 ，因为垂直，所以 因此 ，选A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是______.‎ ‎【答案】存在四面体没有内切球 ‎【解析】命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球 ‎14. 直线垂直于，且平分圆：，则直线的方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线： ，因为过圆心（-1，2），所以 ，即 ‎15. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设点在下底面圆周的射影为,连结,则,为直线与所成角(或补角),,连结,，为正三角形,‎ ‎,直线与所成角大小为.‎ 考点：异面直线所成角.‎ ‎【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.‎ ‎16. 已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知：，：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先解不等式得p,q,再根据是的充分不必要条件得p,q包含关系，最后根据数轴求实数的取值范围.‎ 试题解析：：‎ ‎：‎ ‎∵是的充分不必要条件，∴，‎ 即 ‎∴且两个等号不同时成立，解得 故实数的取值范围是.‎ ‎18. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件 试题解析：（1）解 ：（Ⅰ）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，‎ 由，即圆心坐标为 又半径，故圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.‎ 圆心到直线距离.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 此时圆心到直线距离为1，符合题意.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为 整理为，则圆心到直线距离为 解得，直线方程为 综上①②，所求直线方程为或.‎ ‎19. 在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果（2）先根据等腰三角形性质得.再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果 试题解析：（1）因为分别为的中点，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）证明：因为，为的中点，所以.‎ 又因为平面平面，平面平面，且平面，‎ 所以平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎20. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求点P,Q坐标，再根据求得（2）先设，则，再根据点在抛物线上化简得，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得，即得 试题解析：（1），由以及抛物线定义可知，‎ ‎∵，∴，抛物线的方程为.‎ ‎（2）不妨设，直线：，‎ 由，得，，‎ 故.‎ ‎21. 如图，中，，分别是的中点，将沿折起成，使面面，分别是和的中点，平面与，分别交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，最后根据线面平行性质定理得结论（2）根据以及建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，由向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果 试题解析：(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面，平面，‎ ‎∴平面 又平面平面，故.‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：‎ ‎，，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，令，解得，‎ ‎∴‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则，∴.‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎22. 经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.‎ ‎（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；‎ ‎（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，‎ 该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为；（2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，‎ 该弦中点为，则有，，‎ 相减得：，‎ 由于，，且，所以得：，‎ 故该直径的共轭直径所在的直线方程为.‎ ‎（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，‎ 四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，‎ 则，，而，，‎ ‎，故，‎ 由得的坐标分别为，‎ 故，同理的坐标分别为，‎ 设点到直线的距离为，四边形的面积为,‎ 所以，，‎ 则，为定值.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．点差法，设而不求是一个很经典的方法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎