2017-2018学年江苏省海安高级中学高二6月月考数学（文）试题-解析版

2017-2018学年江苏省海安高级中学高二6月月考数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数z满足：z (1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出，在结合模长公式即可.‎ 详解：由题得：‎ 故答案为：‎ 点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题.‎ ‎2．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5‎ 详解：模拟执行程序框图，可得 k=1，S=0 满足条件S＜20，S=21=2，k=2 满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3 满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4 满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5 不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5． 故答案为：5．‎ 点睛：本题主要考查了循环结构的程序考查，依次写出每次循环得到的S，k的值即可得解，属于基础题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎3．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{ x | x2－1＞0 }，则A∩B＝_____．‎ ‎【答案】{2}‎ ‎【解析】分析：先求出B集合，然后根据交集定义即可得出结论.‎ 详解：由题可得：‎ ‎，‎ 故A∩B＝{2}‎ 所以答案为：{2}‎ 点睛：考查交集的定义，属于基础题.‎ ‎4．某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：，，，，，则这组数据的方差为__________．‎ ‎【答案】0.032‎ ‎【解析】先求得数据的平均数，根据方差公式可得，组数据的方差，故答案为.‎ ‎5．从个红球， 个黄球， 个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件 的概率，即：‎ ‎，两球颜色不同的概率是.‎ 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．‎ 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．‎ ‎6．已知 α 为三角形内角，sinα + cosα =，则cos2α =_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．‎ 详解：把sinα + cosα =两边平方，‎ ‎∵α为第二象限角，‎ 故答案为 点睛：此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由双曲线的渐近线方程结合题意可得：，‎ 则双曲线的离心率为：.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．对于直线l，m，平面α，且mÌα，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的_____条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】分析：根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．‎ 详解：根据线面垂直的定义可知， ∵m⊂α， 若l⊄α，当l⊥m时，l⊥α成立， 若l⊂α，则l⊥α不成立， ∴若l⊥α，则根据线面垂直的性质可知，l⊥m成立， 即“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分．‎ 点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．‎ ‎9．在平面直角坐标系中，已知圆：，点A，B在圆C上，且，则的最大值是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，易得，‎ 如图，，设，‎ 又∵‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 即的最大值为.‎ 考点：1.平面向量数量积；2.三角恒等变形.‎ ‎10．若关于x的方程4x + a·2x + a + 1 = 0有实根，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先令t=2x，则关于t方程为t2+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．‎ 详解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0 则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正根． 于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1，或 ‎ ‎ 又当a=-1时，t=1有正根符合题意，‎ 故综合得：；‎ 所以答案为：‎ 点睛：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．‎ ‎11．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为_____．‎ ‎【答案】2＋3‎ ‎【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得：a1（1+q）（q2-1）=1，则，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ 详解：：∵S4=2S2+1，‎ ‎∴S6的最小值为2＋3‎ 故答案为：2＋3‎ 点睛：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题设条件，本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式b+c≤2a，c+a≤2b，利用简单线性规划寻求得到的取值范围．‎ 详解：设x＝，y＝，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得 作出平面区域：‎ 故答案为 点睛：本题考查不等式的综合，熟练掌握不等式的性质，能灵活运用简单线性规划进行求解，求出要求的范围是解答本题的关键，本题中有一个容易漏掉的隐含条件，三角形中两边之和大于第三边，对题设中隐含条件的挖掘对解题的完整性很重要，谨记 ‎13．若，且，则的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）=7x3+x5是R上的单调性即可得出．‎ 详解：由题可得：不等式化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，‎ 考察函数f（x）=7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，． ∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是 故答案为：‎ 点睛：本题考查了利用函数的单调性解决问题、三角函数的单调性等基础知识，考查了转化法和推理能力，属于难题．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．‎ 详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则 ‎∵∠APB的大小恒为定值， ∴t＝，∴|OP|=．‎ 故答案为 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）若sin A＝，求sin(C－) 的值．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，‎ ‎（2）由（1）可得：C=π-2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．‎ ‎（1）由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA，‎ ‎ 即sin(A－B)＝0．‎ ‎ 因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，‎ ‎ 所以a＝b，即＝1． ‎ ‎ （2）因为sinA＝，且A为锐角，所以cosA＝． ‎ ‎ 所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝， ‎ ‎ cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－． ‎ ‎ 所以sin(C－)＝sinCcos－cosCsin＝．‎ 点睛：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．‎ ‎（1）求证：PC // 平面BDE；‎ ‎（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）连结,交于,连结，为的中点，利用三角形中位线的性质，可知 ，利用线面平行的判定定理，即可得出结论； （2）先证明，再证明.，可得平面.，从而可得平面平面．‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ 证明: （1）连结,交于,连结.‎ 因为是平行四边形,‎ 所以.‎ 因为为侧棱的中点 所以∥.‎ 因为平面,平面 所以∥平面.‎ ‎（2）因为为中点, ‎ 所以 因为,∥‎ 所以.‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面 所以平面平面.‎ ‎17．给定椭圆C： (a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若过点P(0，m) (m＞0) 的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C 的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3‎ ‎【解析】试题分析：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得，由此能求出a，b；（2）由（1）知，椭圆C的方程为，圆的方程为．设直线l的方程为，由，得，由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m 试题解析：（1）记椭圆C的半焦距为c．‎ 由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，‎ 解得a＝2，b＝1．‎ ‎（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．‎ 显然直线l的斜率存在．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 即kx－y＋m＝0．‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 故方程组（*）‎ 有且只有一组解．‎ 由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．‎ 从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（ 4m2－4）＝0．‎ 化简，得m2＝1＋4k2．①‎ 因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．‎ 即． ②‎ 由①②，解得k2＝2，m2＝9．‎ 因为m＞0，所以m＝3．‎ 考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与圆锥曲线的综合问题 ‎18．如图，公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．‎ ‎【答案】当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．‎ ‎【解析】试题分析：先确定点P的位置，再利用BC的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得xB＝1－．由解得yC＝．设△ABC的面积为S，则S＝xB×yC＝．由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．‎ 试题解析：解：‎ 如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．‎ 因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．‎ 设点P(x0，y0)．‎ 因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．‎ 由P到直线AN的距离为，‎ 得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，‎ 所以点P(1，3)． 4分 显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．‎ 令y＝0得xB＝1－． 6分 由解得yC＝． 8分 设△ABC的面积为S，则S＝×xB×yC＝10分 由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．‎ 当－2＜k＜－时，S¢＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S¢＞0，S单调递增． 13分 所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．‎ 答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． 16分 考点：利用导数求函数最值 ‎19．已知函数f (x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R． ‎ ‎（1）若函数f (x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；‎ ‎（2）设T(x)＝f (x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；‎ ‎（3）设h(x)＝|g(x)|·f (x)，b＜1．若存在x1，x2 [0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)‎ ‎【解析】分析：（1）设切点为（t，et），由导数的几何意义，可得et=1，且et=t-b，即可得到b=-1； （2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间； （3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．‎ 详解：‎ ‎(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，‎ ‎ 所以et＝1，且et＝t－b，‎ ‎ 解得b＝－1． ‎ ‎ （2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．‎ ‎ 当a≥0时，T′(x)＞0恒成立． ‎ ‎ 当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)． ‎ ‎ 所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；‎ ‎ 当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)． ‎ ‎（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝‎ 当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；‎ 当x

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