2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 (　 　)‎ A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2.已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则＝ ( 　 )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.设命题：函数的最小正周期为；命题：函数的图象关于直线对称. 则下列判断正确的是 (　 　)‎ A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为假 ‎4.下列结论错误的是 (　 　)‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 命题“”的否定是 ‎ C. 命题“若，则”的逆命题为真命题 D. 命题“若，则且”的否命题是“若，则m≠0或n≠0”‎ ‎5.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则＝ ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有 ( 　　)‎ A．个　 B．个　 C．个　 D．个 ‎8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为 (　　 )‎ A. B. C . D. ‎ ‎10.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为 (　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线与交于点，. 若，且，则的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.‎ ‎14.已知长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是 .‎ ‎15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是_____.‎ ‎16.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ ‎①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，求椭圆方程.‎ ‎②已知双曲线与圆. 双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 设：实数满足 (其中)，：实数满足 ‎(I)若，且为真，求实数的取值范围.‎ ‎(II)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角 三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.‎ ‎(I) 证明：AB⊥平面AB1C；‎ ‎(II) 若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C与直线l1：的一个交点为，且（为坐标原点）.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程；‎ ‎(II)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，‎ 底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.‎ ‎(Ⅰ) 求证：OC⊥PD；‎ ‎（II）若PD与平面PAB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切.记动圆圆心的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹方程；‎ ‎（II）过点的动直线l交轨迹于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段MN为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 兰州一中2018-2019-1学期期末考试高二数学(理科)参考答案 一、 选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D C A D C B A D B A 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15. 乙 16． ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分） 解:①设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).‎ 由解得m＝，n＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1. ………5分 ‎②由，知. 渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线的方程为－＝1. ………10分 ‎18. （本题满分12分）解　(I)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得10，∴A＝{x|a5，解得0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ………6分 ‎∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍)， ………9分 ‎∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0). ‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|‎ ‎＝3＝24. ………12分 ‎21.（本题满分12分） (I)证明　如图，连接OP.‎ ‎∵PA＝PB，O为AB的中点，‎ ‎∴OP⊥AB.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，‎ ‎∴OP⊥平面ABCD，‎ ‎∴OP⊥OD，OP⊥OC.‎ ‎∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，‎ ‎∴OD⊥OC，‎ 又OP⊥OC，OP∩OD＝O，‎ ‎∴OC⊥平面OPD，‎ ‎∴OC⊥PD. ………6分 ‎(II)解:法一　取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，‎ ‎∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，‎ ‎∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)，从而＝(1，1，－)，＝(0，－2，0).‎ 设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得可取n1＝(，0，1).‎ 同理，可取平面PCB的一个法向量为n2＝(0，－，－1).‎ 于是cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ ‎∴二面角D－PC－B的余弦值为－. ………12分 法二　在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB＝2.‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，‎ ‎∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，‎ ‎∴DP＝CP＝2，‎ ‎∴△PDC为等边三角形.‎ 设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC.‎ 在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，连接ND，则∠DMN为二面角D－PC－B的一个平面角.‎ 由于∠CPB＝30°，PM＝1，故在Rt△PMN中，MN＝，PN＝.‎ ‎∵cos∠APB＝＝，‎ ‎∴AN2＝＋3－2×××＝3，‎ ‎∴ND2＝3＋1＝4，‎ ‎∴cos∠DMN＝＝－，‎ 即二面角D－PC－B的余弦值为－.‎ ‎22. （本题满分12分）解（Ⅰ）解：设动圆圆心，半径为.‎ ‎ ………3分 故点的轨迹为椭圆，‎ 故圆心的轨迹方程为 ………6分 ‎ (II)当l与x轴平行时，以线段MN为直径的圆的方程为x2＋＝；‎ 当l与y轴平行时，以线段MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 由得 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1).‎ 下面证明Q(0，1)为所求：‎ 若直线l的斜率不存在，上述已经证明.‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，‎ M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，‎ Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ‎＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)·－·＋＝0，‎ ‎∴⊥，即以线段MN为直径的圆恒过点Q(0，1). ………12分