2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）

2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）

‎2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）‎ ‎　‎ 一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}‎ ‎2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）‎ A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i ‎3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）若数列{an}满足{a1}=2，{an+1}=（n∈N*‎ ‎），则该数列的前2017项的乘积是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．‎ ‎7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为 （　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．（﹣∞，1]‎ ‎9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 ‎11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　，表面积为　 　．‎ ‎12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=　 　；展开式中的常数项为　 　．‎ ‎13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是　 　．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是　 　．‎ ‎14．（6分）设函数f（x）=，‎ ‎①若a=1，则f（x）的最小值为　 　；‎ ‎②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎16．（4分）设数列{an}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=　 　．‎ ‎17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ‎18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．‎ ‎（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E ‎（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．‎ ‎21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．‎ ‎22．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）‎ ‎（1）求a2，a3，a4，a5的值；‎ ‎（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；‎ ‎（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）‎ ‎　‎ ‎2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2，4} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{x|x=2n，n∈N}‎ ‎【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，‎ ‎={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，‎ 则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，‎ C={x|x=2n，n∈N}，‎ 可得（A∪B）∩C={0，2，4}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（　　）‎ A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i ‎【解答】解：由，‎ 得x+yi==2+i，‎ ‎∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，‎ 其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，‎ 则其焦点到渐近线的距离d==1；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：设f（x）=x|x|=，‎ 由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，‎ 则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，‎ 即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，‎ ‎∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，‎ 故函数为偶函数，‎ 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； ‎ 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，‎ ‎∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，‎ 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．（4分）若数列{an}满足{a1}=2，{an+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵数列，‎ ‎∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．‎ ‎∴an+4=an，a1a2a3a4=1．‎ ‎∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为 （　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：‎ 设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．‎ 又B（2，2，0），G（0，2，a），‎ ‎∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），‎ ‎∴=（x﹣2）x+4+=0，‎ 显然x≠0且x≠2，‎ ‎∴a2=，‎ ‎∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，‎ ‎∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，‎ ‎∴a的最小值为2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．（﹣∞，1]‎ ‎【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，‎ ‎∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，‎ ‎∴（﹣∞，0]⊆A，‎ ‎∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，‎ 又h（0）=1，‎ ‎∴实数a需要满足a≤0或，‎ 解得a≤1．‎ ‎∴实数a的范围是（﹣∞，1]，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵ξ服从二项分布，‎ ‎∴E（ξ）=5×=，‎ ‎∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：；‎ ‎∵f（x）在R上存在极值；‎ ‎∴f′（x）=0有两个不同实数根；‎ ‎∴；‎ 即，；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴与夹角的取值范围为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 ‎11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　，表面积为　7+　．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图：‎ 该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，‎ 则该几何体的体积为；‎ 表面积为=．‎ 故答案为：；．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=　6　；展开式中的常数项为　15　．‎ ‎【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，‎ 解得n=6，‎ 则其通项公式为C6rx，‎ 令6﹣3r=0，解得r=2，‎ 则展开式中的常数项为C62=15‎ 故答案为：6，15‎ ‎　‎ ‎13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是　　．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是　　．‎ ‎【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为 ×=．‎ 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 ×=，‎ 故答案为：；．‎ ‎　‎ ‎14．（6分）设函数f（x）=，‎ ‎①若a=1，则f（x）的最小值为　﹣1　；‎ ‎②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　≤a＜1或a≥2　．‎ ‎【解答】解：①当a=1时，f（x）=，‎ 当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，‎ 当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，‎ 当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，‎ 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，‎ ‎②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）‎ 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，‎ 所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，‎ 而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，‎ 所以≤a＜1，‎ 若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，‎ 则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，‎ 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），‎ 当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，‎ 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【解答】解：由约束条件作可行域如图 联立 ，解得C（1， ）．‎ 联立 ，解得B（2，1）．‎ 在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．‎ 由ax+y≤4得y≤﹣ax+4‎ 要使ax+y≤4恒成立，‎ 则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，‎ 若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，‎ 若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，‎ 若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，‎ 则只要B在直线的下方即可，‎ 即2a+1≤4，得0＜a≤．‎ 综上a≤‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）设数列{an}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=　　．‎ ‎【解答】解：对任意的n∈N*，满足an+2﹣an≤2n，an+4﹣an≥5×2n，‎ ‎∴an+4﹣an+2≤2n+2，‎ ‎∴5×2n≤an+4﹣an+2+an+2﹣an≤2n+2+2n=5×2n，‎ ‎∴an+4﹣an=5×2n，‎ ‎∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+…+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+…+2）+=5×+=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥‎ ‎0恒成立，则实数a的取值范围是　a≥　．‎ ‎【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，‎ 不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，‎ 当a＞0时，f（x）≥=1﹣，‎ f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，‎ 解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，‎ 故a≥，‎ 当a＜0时，f（x）≤=1﹣，‎ 不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，‎ 综上可得：a≥‎ 故答案为：a≥‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 ‎18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．‎ ‎（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．‎ ‎【解答】解：由，…（2分）‎ ‎（1）周期为T=π，…（3分）‎ 因为，…（4分）‎ 所以，‎ ‎∴函数的单减区间为；…（6分）‎ ‎（2）因为，所以；…（7分）‎ 所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）‎ 又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）‎ 解得：a=1，b=2，‎ ‎∴a，b的值1，2．…（12分）‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E ‎（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】（I）证明：连接AE，‎ ‎∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，‎ ‎∴△ABE≌△CBE，‎ ‎∴∠AEB=∠CEB，‎ ‎∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，‎ 又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，‎ ‎∴BD⊥平面ACE，‎ 又AC⊂平面ACE，‎ ‎∴BD⊥AC．‎ ‎（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，‎ ‎∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，‎ ‎∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，‎ ‎∴CE⊥AD，又AD⊥EF，‎ ‎∴AD⊥平面CEF，‎ ‎∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，‎ ‎∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，‎ ‎∴BE=1，AE=CE=，DE=，‎ ‎∴AD==，EF==，CF==，‎ ‎∴cos∠CFE==．‎ ‎∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，‎ ‎∴，∴，f'（1）=0；‎ ‎∴函教 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题知，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 令 f（x）=0，解得 x1=1，x2=a﹣1，‎ ‎①当 a＞2时，所以 a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上 f（x）＞0；‎ 在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，‎ 故函数 f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．‎ ‎②当 a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数 f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．‎ ‎③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；‎ 在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，‎ 故函数 f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）‎ ‎④当 a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，‎ 函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）‎ ‎⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），‎ 单调递减区间是（0，1），‎ 综上，①a＞2时函数 f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；‎ ‎②a=2时，函数 f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；‎ ‎③当0＜a＜2时，函数 f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；‎ ‎④当0＜a≤1时，函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．‎ ‎　‎ ‎21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）‎ 由得：y2﹣4my﹣4n=0，‎ ‎∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．‎ ‎∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，‎ ‎∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．‎ 解得：n=2．‎ ‎∴l：x=my+2，‎ ‎∴直线l恒过定点（2，0）．‎ ‎（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，‎ ‎∴=2，‎ 整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①‎ 由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）‎ ‎=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n ‎∴•≤﹣8，‎ 即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．‎ ‎　‎ ‎22．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*）‎ ‎（1）求a2，a3，a4，a5的值；‎ ‎（2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）；‎ ‎（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）‎ ‎【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，‎ a3=++=3+6+6=15，‎ a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，‎ a5=++++=5+20+60+120+120=325；‎ ‎（2）an=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!‎ ‎=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]‎ ‎=n+nan﹣1；‎ ‎（3）证明：由（2）可知=，‎ 所以（1+）（1+）…（1+）=•…‎ ‎==+++…+=+++…+‎ ‎=+++…+≤1+1+++…+‎ ‎=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．‎ 所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．‎ ‎　‎