2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学文试题（解析版）

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】全称命题的否定是特称命题,故选.‎ ‎2. 在等比数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】等比数列的性质可知,故选.‎ ‎3. 命题，命题，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：当时可得到，反之不成立，所以是的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 ‎4. 已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点处取得最大值为,故选.‎ ‎5. 双曲线的离心率等于，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知,,,故选.‎ ‎6. ，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令,代入验证,排除.令,代入验证,排除,故选.‎ ‎7. 为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于轴,所以,依题意可知,即,两边除以得,解得.故选.‎ ‎8. 数列的前项和，当取最小值时的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】二次函数的开口向上,对称轴为,故当或时,取得最小值.故选.‎ ‎9. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查导数的运算，导数的几何意义及导数的应用.‎ ‎10. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的 解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,由于解决为,故,且,故的开口向下,两个根为,所以解集为.故选.‎ ‎11. 为双曲线上的任意一点，则到两条渐近线的距离乘积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设,双曲线渐近线为.点到的距离为,故成绩为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查双曲线上的点到渐近线的距离的成绩为定值.由于本题是一个定值问题,再结合题目是一个选择题,故可以采用特殊点,计算点到渐近线的距离然后相乘,即可得到所求的结果.双曲线的渐近线是令求解出来.‎ ‎12. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象如下图所示.由图可知,当和相切时,斜率取得最小值,将代入,化简得,判别式,所以的取值范围是,故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图象与性质,考查含有绝对值函数图象的画法,考查直线和二次曲线相切的表示方法,即判别式为零. 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知的最大值为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由基本不等式得.‎ ‎14. 函数的单调递增区间是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,由题意，解得，所以函数的递增区间是.‎ ‎15. 已知抛物线和点,质点在此抛物线上运动，则点与点距离的最小值为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,由两点间的距离公式得.‎ ‎16. 等差数列与的前项和为分别为和，若，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式,考查等差数列的性质. 这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．另外注意不能直接代入计算.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点.‎ 求证：‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得两点的坐标,可得成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去,用韦达定理证明.‎ ‎【试题解析】‎ 当过焦点的直线垂直于轴时，则成立，‎ 当直线不与轴垂直时，设 得 所以 .‎ ‎18. 已知函数 ‎（1）当时，求的极大值；‎ ‎（2）当为何值时，函数有个零点.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】【试题分析】(1)时,对函数求导,写出单调区间,可得到极大值.(2)对函数求导,得到函数的单调区间和极大值与极小值,只需要极大值大于零,极小值小于零就符合题意,由此解得的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由解得或 解得 所以当时有极大值 ‎（2）由解得 的单调增区间是和当时，是减函数；‎ 的极大值极小值为 所以且所以 ‎19. 已知是椭圆的一个顶点，焦点在轴上，其右焦点到直线：的距离等于 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，若为中点，求直线方程.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】【试题分析】(1)由题知,利用焦点到直线的距离求出,进而得到和椭圆的标准方程.(2)设出两点的坐标,代入椭圆方程,利用点差法求得直线的斜率,用点斜式得到直线方程.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题知，‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ 所以.‎ 所以直线方程为，即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查点差法求解有关中点弦的问题. 处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．设点的坐标,并没有求出来,这就是设而不求的思想.‎ ‎20. 已知数列的前项和，数列的每一项都有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)数列前项为正数,从第项起为负数,故将分成两类,求解出数列的前项和.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)f(x)在上是增函数，在上是减函数；(2).‎ ‎【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于恒成,构造函数,利用导数求得函数的最小值,由此求得实数的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）f(x)定义域为，，‎ ‎，解得，，解得，‎ ‎∴f(x)在上是增函数，在上是减函数；‎ ‎（2）不等式等价于，令，，‎ ‎，解得，，解得，‎ ‎∴g(x)在上是减函数，在上是增函数，‎ g(x)在时取最小值，∴，‎ 故A的最佳取值为 ‎【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,函数导数与不等式恒成立问题的解法. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．‎ ‎22. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2)‎ ‎ 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意知，‎ 由，得，解得：‎ 椭圆的方程为 离心率为 ‎（2），设直线的方程为 联立，得 设，则 由已知得，得，即 解得：，‎ 符合直线的方程为.‎