重庆市南开中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市南开中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 重庆南开中学高2022级高一（上）期中考试 数学试题 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.‎ ‎1.集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算即可求解.‎ ‎【详解】由，，‎ 所以，‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查集合的交运算，属于基础题.‎ ‎2.的分数指数幂表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式与分数指数幂的互化即可求解.‎ ‎【详解】.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查根式与分数指数幂互化，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使函数表达式有意义，即解不等式组即可求解.‎ ‎【详解】要使函数有意义，则 解得且 ‎ 所以函数定义域为.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的定义域，即使函数有意义的自变量的取值范围，属于基础题.‎ ‎4.小明同学从寝室出发去教室上课，出门时间尚早，他步行匀速向教室走去.当走到一半时，发现自己忘了带作业，于是又步行匀速回寝室，拿作业后发现时间不多，所以以最快的速度全程跑步赶到教室，下列选项中与上述事件吻合最好的图像为 ‎（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图和题意开始他步行匀速向教室走去，距教室越来越近，走到一半时，又步行匀速回寝室，距教室的距离变远，发现时间不多，所以以最快的速度全程跑步赶到教室，距教室的距离变为零，且用的时间较短，结合图像即可得出选项.‎ ‎【详解】根据小明回教室的路线，走一半路程又折回教室可排除C、D 再次返回教室时，由于时间不多，小明以最快的速度跑步回教室可知，‎ 小明在从寝室回教室用的时间比较短，因此排除A.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查函数与图像的辨析，属于基础题.‎ ‎5.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得，利用配方即可求出函数的值域.‎ ‎【详解】令，则（）‎ 所以 ‎ 由 ‎ 又 所以 即的值域为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了换元法求函数的值域，解决此类问题时，在换元的过程中注意自变量取值范围的变化.‎ ‎6.已知是上的偶函数，且，则（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是上的偶函数得关于对称，‎ 再由函数的平移变换可得关于对称，根据对称性即可求解.‎ ‎【详解】因为是上的偶函数，所以关于对称，‎ 把向右平移一个单位可得，则关于对称，‎ 所以 故选C ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的运用以及函数的平移变换，属于基础题.‎ ‎7.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复合函数的单调性“同增异减”即可得出答案.‎ ‎【详解】使有意义，则解得，即函数的定义域为，‎ 令，开口向下，对称轴 ，由二次函数的单调性，所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 令，则由幂函数的单调性可知，此函数为增函数，又为增函数，‎ 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故函数的单调递增区间为.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，在求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，此题属于基础题.‎ ‎8.已知符号函数，是上的增函数，‎ ‎，其中，则下列结果正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意直接利用特殊法，设出函数以及的值，判断选项即可.‎ ‎【详解】由于此题是选择题，可以采用特殊法，‎ 符号函数，是上的增函数，‎ ‎，其中，‎ 不妨令，‎ 则 所以，所以A不正确，B正确；‎ ‎，所以C不正确，D正确；‎ 对于D，令 则 所以D不正确；‎ 故选B ‎【点睛】本题是函数的创新题，考查函数的单调性，解题的关键需理解题干中的新定义.‎ ‎9.定义在上的满足：，且对任意两个不相等的实数，都有，，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件，可知函数关于对称，由，可知函数在时单调递增，根据函数的单调性和对称性即可解不等式.‎ ‎【详解】，‎ 函数关于对称，‎ 对任意两个不相等的实数，有 函数在时单调递增，‎ 由对称性可知函数在时单调递减，‎ 由，则或 解得或 ‎ 故不等式的解集为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和对称性，利用函数的性质解不等式，属于中档题.‎ ‎10.已知函数（且）在上单调递减,则实数 的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数（且），得（且）；‎ 令，分类讨论当时，根据复合函数的单调性，函数在上单调递减，显然成立；‎ 当时，只需成立即可.‎ ‎【详解】由函数（且），‎ 即（且）‎ 令，则，开口向下，对称轴为 ‎ 当时，由因为，则，且 ‎ 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，‎ 所以满足；‎ 当时，由因为，则 ‎ 若要使函数上单调递减，则 ‎ 解得 ‎ 综上所述，实数的取值范围为. ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查含有指数函数的复合函数的单调性，解题注意分类讨论思想的运用，同时复合函数的单调性法则为“同增异减”， 此题属于中档题.‎ ‎11.已知集合满足: ,且每个集合恰有3个元素,记中元素的最大值与最小值之和为,则的最小值为（ ）‎ A. 21 B. 24 C. 27 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，由题意列举出集合，‎ 由此能求出的最小值.‎ ‎【详解】由题意可知，‎ 各有个元素且不重复，当，，时， ‎ 取得最小值，此时最小值为，‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查集合中的元素运算，解题的关键是理解题中满足的条件，属于中档题.‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.‎ ‎12.函数，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入可得，然后把代入 即可求解.‎ ‎【详解】由，所以 ，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.‎ ‎13.函数为定义在上的奇函数，若时，，则当时，________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，则，所以，‎ 根据函数为定义在上的奇函数即可求解.‎ ‎【详解】设，则，所以 又因为函数为定义在上的奇函数，‎ 所以 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查用函数的奇偶性求函数解析式，属于基础题.‎ ‎14.函数在处取得最小值，且 ‎，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在处取得最小值，得；‎ 再由可知距对称轴的距离较近，可得 解不等式即可. ‎ ‎【详解】由函数在处取得最小值，则，‎ 又因为，所以 ‎ 即，解得或 ‎ 所以实数的取值范围是 ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，属于中档题.‎ ‎15.函数，若关于的不等式的解集为，则当时满足的的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据关于的不等式的解集为，‎ 求出，得出；‎ 由当时，满足，即 ，‎ 讨论的正负，代入解析式即可求解.‎ ‎【详解】由关于的不等式的解集为，‎ 当时，，解得 ‎ 当时，，由不等式的解集可得，即 ‎ 故不等式为 ‎ 由当时，满足 ‎ 即 ‎ 当，即时，‎ 则，解得 ‎ 当，即时，‎ 则，解得 ‎ 所以 ‎ 综上所述，不等式中的取值范围为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数解不等式，解题的关键是先求出解析式，对于分段函数解不等式，需分类讨论代入对应解析式，此题属于中档题.‎ 三、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.‎ ‎16.已知集合，集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求出集合，或，由集合交集运算即可求解. ‎ ‎（2）求出，再由，根据集合的包含关系即可求出.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，解得，‎ 而，或，‎ 故；‎ ‎（2）由或，所以，‎ 若，所以，‎ 由，‎ 当时，，显然不成立，‎ 当时，，显然不成立，‎ 当时，，‎ 由，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）若的定义域为，求实数的值；‎ ‎（2）若的定义域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意定义域为，可知不等式的解集为，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解.‎ ‎（2）的定义域为，可知不等式恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为，即的解集为，‎ 故，解得；‎ ‎（2）的定义域为，即恒成立，‎ 当时，，经检验只有满足条件；‎ 当时，，解得，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.‎ ‎18.已知函数满足：对任意，有.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用替换，得方程组消去即可求解.‎ ‎（2）根据对勾函数在上单调递减，上单调递增，讨论的取值范围即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）由可得；‎ ‎（2）在上单调递减，上单调递增，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 综上，‎ ‎【点睛】本题主要考查方程组法求解析式、根据函数的最值求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎19.设函数对于任意，都有，且时，.‎ ‎（1）判断的单调性，并用定义法证明；‎ ‎（2）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数在上单调递增.证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的单调性定义，采用赋值法即可证出.‎ ‎（2）根据题意知，由（1）知函数在上单调递增，可推出在内有两个不同的实数根，由二次函数根的分布即可求出参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）任取且，由题意可知，‎ ‎∴，即当时，，‎ 故函数在上单调递增；‎ ‎（2）由题意知，‎ 由（1）知函数在上单调递增，故在内有两个不同的实数根，即在内有两个不同的实数根.‎ ‎∴ ，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性、一元二次方程与二次函数的关系，属于中档题.‎ ‎20.已知函数（且）是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，且关于的不等式对任意都成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）函数是定义在上的奇函数，根据奇函数的性质即可求解.‎ ‎（2）首先解出，利用换元法令，则，不等式化为在上恒成立，根据二次函数根分布即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）由，得；‎ ‎（2）由解得，则不等式对任意都成立.‎ 令，则，不等式化为在上恒成立，‎ 则或者，解得或，即，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式恒成立求参数的取值范围，在求参数取值范围时，可采用分离参数法.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，通过讨论的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.‎ ‎（2）问题转化为，分别求出、的范围，得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】（1）当时，函数 ‎ 由，即或 或 ‎ 或 ‎ 不等式的解集为 ‎（2）对任意，都存在，使得成立，‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以，‎ 或 ‎ 或， ‎ 实数的取值范围为 ‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数解不等式以及恒成立求参数的取值范围，解决本题第二问的关键是找到两个函数值域之间的包含关系，此题属于中档题.‎ ‎ ‎