广东省深圳市南头中学2013届高三12月月考数学（理）试题

广东省深圳市南头中学2013届高三12月月考数学（理）试题

‎2012-2013学年度深圳市南头中学高三年级 ‎12月月考理科数学试卷2012.12.21 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题共分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填入答题卡内。‎ ‎1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）‎ ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎ 3．已知两个非零向量，满足|+|=||，则下面结论正确的是（ ）‎ ‎(A) ∥ (B) ⊥ (C) (D) +=‎ ‎4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）‎ ‎(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！‎ ‎6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）‎ ‎(A)9π　（B）10π (C)11π (D)12π ‎7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设函数满足，且当x∈[o，1]时，又函数，则函数[]上的零点个数为（ ） ‎ ‎ A．5 B． ‎6 ‎ C．7 D． 8‎ 第Ⅱ卷（非选择题共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡横线上。‎ ‎9.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ 10. 设△的内角 的对边分别为，且，则 ‎ ‎11.若满足约束条件：；则的取值范围为 ‎12.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.‎ ‎13.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．‎ ‎14.已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15、（本小题共13分）‎ 函数部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在区间 ‎ 上的最大值和最小值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：‎ 作品数量 ‎ 实用性 ‎1分 ‎2分 ‎3分 ‎4分 ‎5分 创 新 性 ‎1分 ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2分 ‎1‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3分 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎4分 ‎1‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎5分 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；‎ ‎（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值．‎ ‎17、（本小题共14分）‎ 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角 ‎18. （14分）已知椭圆：.过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点. （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数，，且是函数的极值点．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范（2）若直线是函数的图象在点(2，(2))处的切线，且直线与函数)的图象相切于点P()，，求实数b的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知各项均为正数的数列满足，且，其中．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项积为，其中试比较与9的大小，并加以证明。‎ ‎2012-2013学年度深圳市南头中学高三年级 ‎12月月考理科数学试卷2012.12.21 ‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填入答题卡内1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ B ）‎ ‎2．命题“，”的否定是（ D ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎ 3．已知两个非零向量，满足|+|=||，则下面结论正确的是（ B ）‎ ‎(A) ∥ (B) ⊥ (C) (D) +=‎ ‎4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ B ）‎ ‎ ‎ ‎5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ C ）‎ ‎(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！‎ ‎6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）‎ ‎(A)9π　（B）10π (C)11π (D)12π ‎7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ A ）A．B． C． D．‎ ‎8．设函数满足，且当x∈[o，1]时，又函数，则函数[]上的零点个数为（B ） A．5 B． ‎6 ‎ C．7 D． 8‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡横线上。‎ ‎9.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____‎ ‎ 10. 设△的内角 的对边分别为，且，则 ‎ ‎11.若满足约束条件：；则的取值范围为 ‎12.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_____‎ ‎13.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2‎ ‎14.已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ‎ ‎15、（本小题满分13分）函数部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 解：（Ⅰ）由图可得，，所以． ……2分 所以． 当时，，可得 ，因为，所以． ………5分 ‎ 所以的解析式为．……………6分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎．………………10分因为，所以．‎ ‎ 当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．……13分 ‎16．（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：‎ 作品数量 ‎ 实用性 ‎1分 ‎2分 ‎3分 ‎4分 ‎5分 创 新 性 ‎1分 ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2分 ‎1‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3分 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎4分 ‎1‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎5分 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；‎ ‎（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值．‎ 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件，∴“创新性为分且实用性为分”的概率为． …………4分 ‎（Ⅱ）由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、分五个等级，且每个等级分别有件，件，件，件，件． …………5分∴“实用性”得分的分布列为：‎ 又∵“实用性”得分的数学期望为，∴． ……………10分 ‎∵作品数量共有件，∴ 解得，． ……………………13分 ‎17、（本小题共14分）‎ 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，‎ 所以∥，且．由已知∥，，‎ 所以∥，且． 所以四边形为平行四边形．‎ 所以∥．又因为平面，且平面，‎ 所以∥平面．…………………4分 ‎（Ⅱ）证明：在正方形中，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以． ‎ 在直角梯形中，，，可得．‎ 在△中，，所以．所以平面．‎ 又因为平面，所以平面平面．……………………9分 ‎ （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且． 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系． ． 平面的一个法向量 为． 设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．‎ 所以为平面的一个法向量． 设平面与平面所成锐二面角为． 则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．………14分 ‎18. （14分） 已知椭圆：.过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（ II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知得 所以所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为 由设A、B两点的坐标分别为，则又由与圆所以 由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎19．（本小题满分14分）已知函数，，且是函数的极值点．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若直线是函数的图象在点(2，(2))处的切线，且直线与函数)的图象相切于点P()，，求实数b的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足，且 ‎，其中．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项积为，其中试比较与9的大小，并加以证明。‎