2018届二轮复习二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和课件（江苏专用）

2018届二轮复习二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和课件（江苏专用）

专题 8 　概率与统计 第 35 练　二项式定理的两类 重点题 　 　　　 型 —— 求指定项与求和 二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为填空题，题目难度不大，为低、中档题 . 主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 课标全国 Ⅰ 改编 )( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为 ________. 解析　 方法一　利用二项展开式的通项公式求解 . ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 ＝ [( x 2 ＋ x ) ＋ y ] 5 ， 方法二　利用组合知识求解 . ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 为 5 个 x 2 ＋ x ＋ y 之积，其中有两个取 y ，两个取 x 2 ，一个取 x 即可， 30 1 2 3 4 解析答案 2.(2016· 四川改编 ) 设 i 为虚数单位，则 ( x ＋ i) 6 的展开式中含 x 4 的项为 ________. 1 2 3 4 解析答案 35 1 2 3 4 解析答案 解析　 2 n ＝ 256 ， n ＝ 8 ， 取 r ＝ 2 ， 112 返回 高考 必会题型 题型一　求展开项 令 x 的幂指数 6 － 2 r ＝ 0 ，解得 r ＝ 3 ， 解析答案 － 20 解析答案 － 2 点评 点评 应用通项公式要注意四点 (1) T r ＋ 1 是展开式中的第 r ＋ 1 项，而不是第 r 项； (2) 公式中 a ， b 的指数和为 n ，且 a ， b 不能随便颠倒位置； (3) 要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4) 对二项式 ( a － b ) n 展开式的通项公式要特别注意符号问题 . 84 解析 答案 解析答案 60 题型二　赋值法求系数之和 例 2 　 (1) 对任意的实数 x ，有 (2 x － 3) 6 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ＋ a 6 x 6 ，则 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＝ ________. 解析　 由 (2 x － 3) 6 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ＋ a 6 x 6 ， 两侧 求导，得 a 1 ＋ 2 a 2 x ＋ 3 a 3 x 2 ＋ 4 a 4 x 3 ＋ 5 a 5 x 4 ＋ 6 a 6 x 5 ＝ 12(2 x － 3) 5 ， 令 x ＝ 1 ，则 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＝ 12(2 × 1 － 3) 5 ＝－ 12. － 12 解析答案 点评 解析 答案 点评 解析　 因为 (2 x － 1) 2 013 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 2 013 x 2 013 ( x ∈ R ) ， (1) “ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 ( ax ＋ b ) n 、 ( ax 2 ＋ bx ＋ c ) m ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x ＝ 1 即可；对形如 ( ax ＋ by ) n ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝ 1 即可 . 点评 解析答案 解析　 令 x ＝ 1 ，得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 20 解析答案 (2) 若 (1 － 5 x ) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 9 x 9 ，那么 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 9 | 的值是 ________. 所以当 x 的指数为奇数时，其系数为负， 所以在 (1 － 5 x ) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 9 x 9 中令 x ＝－ 1 ， 得 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 9 | ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 8 － a 9 ＝ 6 9 . 6 9 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 所以 ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ) 2 ＝ ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 1 ＋ a 3 )( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 － a 1 － a 3 ) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 ＝ (1 ＋ 5) n － 1 ＝ (7 － 1) n － 1 ＝ 7 M ＋ ( － 1) n － 1 ， M ∈ Z ， 当 n 为奇数时，余数为 5 ， 当 n 为偶数时，余数为 0. 0 或 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 由题意知 A 0 (0,1) ， A 1 (1,3) ， A 2 (2,4). 故 a 0 ＝ 1 ， a 1 ＝ 3 ， a 2 ＝ 4. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 4. 设 m 为正整数， ( x ＋ y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， ( x ＋ y ) 2 m ＋ 1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若 13 a ＝ 7 b ，则 m ＝ ________. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 设 ( x 2 ＋ 1)(2 x ＋ 1) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x ＋ 2) ＋ a 2 ( x ＋ 2) 2 ＋ … ＋ a 11 ( x ＋ 2) 11 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 11 的值为 ________. 解析　 令等式中 x ＝－ 1 可得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 11 ＝ (1 ＋ 1)( － 1) 9 ＝－ 2. － 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 设 a ∈ Z ，且 0 ≤ a <13 ，若 51 2 016 ＋ a 能被 13 整除，则 a 的值为 ________. 解析　 51 2 016 ＋ a ＝ (52 － 1) 2 016 ＋ a 因为 52 能被 13 整除， 即 a ＋ 1 能被 13 整除，因为 0 ≤ a <13 ，所以 a ＝ 12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 故实数 m 的取值范围是 m ≥ 5. [5 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8.( x 2 － x ＋ 1) 10 展开式中 x 3 项的系数为 ________. 解析　 ( x 2 － x ＋ 1) 10 ＝ [ 1 ＋ ( x 2 － x )] 10 的展开式的通项公式为 T r ＋ 1 令 2 r － m ＝ 3 且 m ≤ r ≤ 10 ， m ∈ N ， r ∈ N ， － 210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求 n ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求含 x 2 项的系数； 解　 由 (1) 可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (3) 求展开式中所有的有理项 . 解　 由 (1) 可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 n ＝ 7 或 n ＝ 14. 当 n ＝ 7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T 4 和 T 5 . 当 n ＝ 14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T 8 . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ，求展开式中系数最大的项 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 n ＝ 12 或 n ＝－ 13( 舍去 ). 设 T r ＋ 1 项的系数最大 . 又因为 0 ≤ r ≤ 12 且 r ∈ N ，所以 r ＝ 10. 所以展开式中系数最大的项为 T 11 .