【数学】2018届一轮复习人教A版分类讨论思想的应用情形归纳(2)学案

【数学】2018届一轮复习人教A版分类讨论思想的应用情形归纳(2)学案

分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 ‎ 第02讲：分类讨论思想情形之6-10‎ ‎【知识要点】‎ ‎ 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学 的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.‎ 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.‎ 二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评. * / ‎ 三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.‎ 四、本讲讲了分类讨论思想情形之6-10, 情形6:的抛物线开口方向不确定要分讨论；情形7：一元二次方程的判别式正负不确定要分讨论；情形8：一元二次方程的两根大小不确定要分类讨论；情形9：二次函数的对称轴与区间的位置关系不确定一般要分、、三种情况讨论.；情形10：一元二次方程的根与区间的位置关系不确定要分类讨论.‎ ‎【方法讲评】‎ 分类讨论情形6‎ 一元二次函数的抛物线的开口方向不确定要分类讨论，分两种情况讨论.‎ ‎【例1】已知函数，其中 ‎（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，由在处的切线与直线垂直，‎ 可知，所以；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为， ，‎ 的对称轴方程为，所以， ，由，‎ 可得 .‎ 所以当时， ， ，函数单调递增；‎ 当时， ， ，函数单调递减；‎ 当时， ， ，函数单调递增.因此函数 有两个极值点.‎ ‎（iii）当时， ，由，可得， ‎ 当时， ， ，函数单调递增；‎ 当时， ， ,函数单调递减，所以函数有一个极值点.‎ 综上所述，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ ‎①当时，函数在单调递增，因为，所以时， ，符合题意；‎ 综上所述， 的取值范围是.‎ ‎【点评】（1）由于函数是不是二次函数不确定要分类讨论，分讨论，是二次函数时，开口方向不确定要分类讨论，要分讨论. 开口方向确定后，判别式正负不确定要分类讨论，所以本题有三级分类讨论.对学生的逻辑思维能力要求比较高.(2)分类讨论是比较考逻辑思维的，该分类的时候，你没有分类讨论，不该分类讨论时，你分类讨论，都是错误的.对于二次函数 说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系. 我们要学会思考，学会总结.学/ *3 ‎ ‎【反馈检测1】已知函数. ‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证: .‎ 分类讨论情形7‎ 一元二次方程的判别式正负不确定要分类讨论，一般分讨论.‎ ‎【例2】已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在两个极值点， ，且，证明： ．‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，由题意，‎ 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，‎ 即在有两个不等的实根，，‎ 于是， 且满足， ，‎ ‎，‎ 同理可得．‎ ‎，‎ ‎【点评】（1）正负不确定，抛物线与轴的交点个数不确定，所以要分两种情况讨论.（2）对于二次函数 说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律.‎ ‎【反馈检测2】已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为， ，且.证明： .‎ 分类讨论情形8‎ 一元二次方程的两根大小不确定要分类讨论.‎ ‎【例3】已知函数， ，且.‎ ‎（1）若函数在和处的切线互相平行，求实数的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【解析】（1），‎ ‎.‎ ‎， .‎ ‎ .‎ ‎③当时， ，在区间上， .‎ ‎④当时， ，在区间和上， ；在区间上， .‎ 综上：①当时， 的单增区间为，单减区间为；‎ ‎②当时， 的单增区间是和，单减区间是；‎ ‎③当时， 的单增区间是；‎ ‎④当时， 的单增区间是和，单减区间是.‎ ‎【点评】（1）函数不确定是不是二次函数，首先必须就分类讨论，分两种情况讨论.（2）当时，是二次函数，但是函数的两个零点大小关系不确定，所以要分三种情况讨论. （3）当时，是二次函数，函数的两个零点大小关系确定，所以不需要分类讨论. （4）对于二次函数 说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑两根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律. ‎ ‎【反馈检测3】设， .‎ ‎（1）若，证明： 时， 成立；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ 分类讨论情形9‎ 二次函数的对称轴与区间的位置关系不确定要分类讨论，一般分三种情况讨论, 、、.‎ ‎【例4】已知函数（，）满足，且对任意实数都有.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在区间上有最小值-5？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】（1），所以，因为在上恒成立，即恒成立.‎ 显然时，上式不能恒成立，所以，函数是二次函数，‎ 由于对一切，都有，所以由二次函数的图象和性质可得 ，‎ 即，即 ，解得：，．‎ ‎（2）因为，所以，所以 ‎．‎ 即,此方程无解．‎ ‎③当，即时，函数在区间上先减后增 ‎ 所以，解得或．‎ 其中 ，应舍去．‎ 综上可得，存在实数，使函数在区间上有最小值-5.‎ ‎【点评】对称轴为与区间的相对位置关系不确定，所以要分三种情况讨论，每一种情况通过数形结合分析函数的最小值.‎ ‎【反馈检测4】已知函数.‎ ‎（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为3，求的值.‎ 分类讨论情形10‎ 一元二次方程的根与区间的位置关系不确定要分类讨论 ‎【例5】已知函数， ，其中 ‎（1）设函数，求函数的单调区间；学.‘；’ ‎ ‎（2）若存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎（2）若存在，使得成立，即存在，使得，即函数在上的最小值小于零.‎ 由（1）可知：‎ ‎①当，即时， ， 的上单调递减，所以的最小值为，‎ 由可得，因为，所以.‎ 综上可得所求的范围是.‎ ‎【点评】（1）函数的一个零点是不在函数定义域内要舍去，另一个零点是不确定是否在定义域 内，直接影响了导函数的图像和性质，影响了原函数的图像和性质，所以要分类讨论.（2）对于二次函数 说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般的规律.‎ ‎【反馈检测5】已知函数， ， ，其中是自然常数， .‎ ‎（1）当时，求的极值，并证明恒成立；‎ ‎（2）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 ‎ 第02讲：分类讨论思想情形之6-10参考答案 ‎【反馈检测1答案】(1)见解析；(2) 见解析.‎ ‎【反馈检测1详细解析】由题得，所以.‎ ‎(1) . ① 若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；‎ ‎，故的单调递减区间为.⑤若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ 当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为,；‎ ‎(2) ,设的方程为 ‎，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.‎ 又,即，令，在定义域上， ，所以上， 是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）（2）详见解析.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）函数的定义域为．　‎ 数单调递增，不符合题意．　‎ 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，‎ 即有两个不等的实根， ，可得，且，‎ 因为，则，可得.‎ ‎ ，. ‎ 令， ， ，‎ ‎∵，‎ ‎【反馈检测3答案】（1）见解析;‎ ‎（2）， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎， 在， 上单调递增，在上单调递减.‎ ‎， 在上单调递增；学*/ + ‎ ‎， 在， 上单调递增，在上单调递减.‎ ‎【反馈检测3详细解析】（1）当时， ，要证时成立，由于，只需证在时恒成立，‎ 令，则，‎ 设， ， ，‎ 在上单调递增， ，即，‎ 在上单调递增， ，‎ 当时， 恒成立，即原命题得证.‎ ‎（2）的定义域为， ，‎ ‎①当时， 解得或； 解得，‎ ‎④当时， ， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎⑤当， ， 在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上， ， 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎， 在， 上单调递增，在上单调递减.‎ ‎， 在上单调递增；‎ ‎， 在， 上单调递增，在上单调递减.‎ ‎【反馈检测4答案】（1）；（2）或．‎ ‎【反馈检测4详细解析】（1）由 ‎（2）化简得，抛物线的对称轴为.‎ 当，即时；当，即时【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）存在实数，使得当时， 有最小值3.‎ ‎【反馈检测5详细解析】（1）证明：∵， ，‎ ‎∴当时， ，此时单调递减；当时， ，此时单调递增.‎ ‎∴时，不存在使的最小值为3.‎ ‎②当时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ，满足条件.‎ ‎③当时， 在上单调递减， ， （舍去），‎ ‎∴时，不存在使的最小值为3.‎ 综上，存在实数，使得当时， 有最小值3.‎ ‎（舍）;当，即时,综上或